giuseppe.errera
giuseppe.errera - Ominide - 6 Punti
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Salve, qualcuno sa dirmi come poter risolvere la seguente funzione ed i successivi passi?

Immagine esercizio:

Ringrazio tutti per la risposta!
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Bisogna verificare che
1)
[math]f(-1)=f(1)[/math]
(facile)
2) che la funzione sia continua su
[math][-1,1][/math]
(facile anche questo, basta guardare come è fatta la funzione)
3) che la funzione sia derivabile su
[math](-1,1)[/math]
(facile pure questo, ma bisogna guardare in particolare, con la definizione, cosa accade alla derivata per
[math]x=0[/math]
).
giuseppe.errera
giuseppe.errera - Ominide - 6 Punti
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Mi aiutaresti a fare i vari passi?
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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1) Abbiamo
[math]f(1)=(-1+4-1)e^{-1}=2e^{-1},\\ f(-1)=(-1+4-1)e^{-1}=2e^{-1}[/math]

2) La è prodotto di due funzioni: un'esponenziale (che è sempre continua sul suo dominio) e una funzione polinomiale, anch'essa sempre continua. Poiché la funzione valore assoluto è pure essa continua, la funzione originaria risulta continua.

3) Con un ragionamento analogo a prima, la funzione risulta derivabile sul dominio. Tuttavia, bisogna verifica cosa accade nei punti in cui l'argomento del valore assoluto si annulla (poiché, come è noto, la funzione
[math]|x|[/math]
non è derivabile in
[math]x=0[/math]
). Calcoliamo allora il limite del rapporto incrementale destro e sinistro della funzione in
[math]x=0[/math]
. Osserva che quando
[math]h\to 0^+[/math]
allora
[math]|h|=h[/math]
mentre per
[math]h\to 0^-[/math]
si ha
[math]|h|=-h[/math]
. Pertanto:
[math]\lim_{h\to 0+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0+}\frac{(-h^2+4|h|-1)e^{-|h|}+1}{h}=\\ \lim_{h\to 0^+}\frac{(-h^2+4h)e^{-h}+1-e^{-h}}{h}=\lim_{h\to 0^+}\left[(4-h)e^{-h}+\frac{e^{-h}-1}{-h}\right]=\\ 4+1=5[/math]


[math]\lim_{h\to 0-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{(-h^2+4|h|-1)e^{-|h|}+1}{h}=\\ \lim_{h\to 0^-}\frac{(-h^2-4h)e^{h}+1-e^{h}}{h}=\lim_{h\to 0^-}\left[(-4-h)e^{h}-\frac{e^{h}-1}{h}\right]=\\
-4-1=-5[/math]


Poiché i due limiti non coincidono, la funzione presenta in
[math]x=0[/math]
un punto angoloso e pertanto non è derivabile. Il Teorema di Rolle, pertanto, non p verificato.
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