ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Buongiorno a tutti! mi è capitato fra le mani questo esercizio, con relativa risoluzione...ma non so se la soluzione sia veramente giusta e non ho capito alcuni passaggi.

"Sia
[math]X\sim N(0,1)[/math]
. Dimostrare che
[math]P(2x=3y+1)=0[/math]
, oppure trovare un controesempio, nei seguenti casi :
1)
[math]Y\sim Poisson(\lambda)[/math]
2) Y con distribuzione normale
3)
[math]Y\sim N(0,1)[/math]
, X e Y indipendenti "
Soluzione

1)
[math]P(2x=3y+1)= P(\bigcup(2x=3y+1, y=k)) = \sum_{k=0}^\infty P(2x=3y+1, y=k)= \sum_{k=0}^\infty P(2x=3k+1, y=k)< \sum_{k=0}^\infty P(2x=3k+1) = \sum_{k=0}^\infty P(x = \frac{3k+1}{2})=0[/math]
qua non ho capito il perchè l'ultimo pezzo poi sia uguale a 0...
2)Se considero
[math] y = \frac{2x-1}{3})[/math]
, y ha sicuramente distribuzione normale (perchè????), quindi
[math]P(2x=3y+1)= P(2x = 3(\frac{2x-1}{3})+1 )= P(2x=2x)=1[/math]
, controesempio.
3)Dato che entrambe le variabili aleatorie sono normali standard , allora anche 2x-3y-1 è normale (???perchè?) allora
[math]P(2x=3y+1)= P(2x-3y-1=0)[/math]
perchè la distribuzione di una normale è continua.
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