naturalmentediamante
naturalmentediamante - Ominide - 7 Punti
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Come si risolve questa funzione? log^2(x+2)logx
Vi ringrazio
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Cosa intendi con "come si risolve"? Si risolve una equazione, non una funzione. Una funzione si studia.
naturalmentediamante
naturalmentediamante - Ominide - 7 Punti
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Vero, pardon, come si studia questa funzione?
Il dominio mi risulta X>-2 e X>0 quindi in X>0
Il segno è >0
Poi mi perdo sulle intersezioni e su i limiti agli estremi.
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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La funzione è

[math]f(x)=\log^2 x+2\log x=\log x(\log x+2)[/math]

Per il dominio, basta imporre che l'argomento del logaritmo sia positivo, per cui l'unica condizione è
[math]x>0[/math]
e quindi
[math]D=(0,+\infty)[/math]
.
Se vogliamo risolvere la disequazione
[math]f(x)\ge 0[/math]
abbiamo (suppongo che il logaritmo sia in base e)
[math]\log x\ge 0\ \Rightarrow\ x\ge 1\\ \log x+2\ge 0\ \Rightarrow\ \log x\ge -2\ \Rightarrow\ x\ge e^{-2}=\frac{1}{e^2}[/math]

Usando il grafico per i segni della disequazione (e tenendo conto del dominio) ricaviamo che

[math]1)\ f(x)>0\ \Leftrightarrow\ (0,1/e^2)\cup(1,+\infty)\\
2)\ f(x)<0\ \Leftrightarrow\ (1/e^2,1)\\
3)\ f(x)=0\ \Leftrightarrow\ x=1/e^2,\ x=1[/math]

Pertanto la funzione interseca l'asse delle x nei punti
[math]A(1/e^2, 0),\ B(1,0)[/math]


Passiamo ai limiti: abbiamo

[math]\lim_{x\to 0^-} f(x)=-\infty\cdot(-\infty)=+\infty[/math]

per cui
[math]x=0[/math]
è un asintoto verticale destro, e
[math]lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty[/math]

e dal momento che il logaritmo non presenta asintoti obliqui, non vi sono altri asintoti.



Per la derivata prima si ha

[math]f'(x)=2\log x\cdot\frac{1}{x}+2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2(\log x+1)}{x}[/math]

Dal momento che sul dominio
[math]x>0[/math]
la disequazione
[math]f'(x)\ge 0[/math]
equivale a
[math]\log x +1\ge 0\ \Rightarrow\ \log x\ge -1\ \Rightarrow\ x\ge\frac{1}{e}[/math]

e quindi la funzione

- cresce su
[math](1/e,+\infty)[/math]
- decresce su
[math](0,1/e)[/math]
- ammette un minimo assoluto in
[math]M(1/e,-1)[/math]


Per il calcolo dei flessi: la derivata seconda è

[math]f''(x)=-\frac{2\log x}{x^2}[/math]

e si ha
[math]f''(x)=0[/math]
quando
[math]\log x=0\ \Rightarrow\ x=1[/math]
. Pertanto il punto
[math]B(1,0)[/math]
risulta un flesso.
Il grafico è il seguente.
naturalmentediamante
naturalmentediamante - Ominide - 7 Punti
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Ti ringrazio, ma non mi riesco a trovare con il grafico, a me esce una sola intersezione in x=1.
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