miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Ciao a tutti. Ho un piccolo problema con un esercizio. L esercizio è risolto praticamente, ma mi manca solo una piccola parte finale che non riesco a svolgere. L esercizio è il seguente:
Data la matrice:

[math]A= \begin{bmatrix} 0&-3&-1\\6&11&3\\10&15&7 \end{bmatrix}[/math]

dire se è diagonalizzabile e eventualmente trovare la matrice diagonale associata all endomorfismo definito da A.

Io ho trovato gli autovalori, che sono 2(doppio) e 14, e i corrispondenti autovettoti. Tali autovettori formano una base di R3 e quindi la matrice A è diagonalizzabile. A questo punto dovrei trovare la matrice associata all endomorfismo definito da A rispetto alla base formata dagli autovettore di A. Ed è proprio qui che mi blocco, in quanto tale matrice dovrebbe essere proprio quella matrice diagonale cercata, ma come faccio a trovarla?? Ho provato a calcolare le coordinate dei vettori colonna di A rispetto alla base di autovettori ma senza successo. Qualcuno potrebbe spiegarmi come fare?? Grazie a tutti in anticipo.

Aggiunto 2 ore 22 minuti più tardi:

no il problema è proprio che non avevo capito questo!!!! Cioè la matrice diagonale che mi serve in realtà non è altro che quella avente come entrate gli autovalori????
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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Se gli autovalori sono
[math]2,\ 14[/math]
con il primo doppio, la matrice diagonale associata è
[math]\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 14
\end{array}\right)[/math]

Non capisco bene dove sia il problema.

Aggiunto 3 ore 44 minuti più tardi:

Eh già. Il motivo è molto semplice: se indichi con
[math]v_i,\ i=1,2,3[/math]
i 3 vettori che ottieni come basi degli autospazi, allora avrai
[math]A v_i=\lambda_i v_i[/math]
(dove i vettori sono intesi come colonne. Chiama adesso
[math]V=(v_1\ v_2\ v_3)[/math]
la matrice le cui colonne sono tali vettori: essa risulta invertibile in quanto i vettori sono linearmente indipendenti (e quindi il rango della matrice è massimo). Inoltre se indichi la matrice
[math]A[/math]
così:
[math]A=\left(\begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)[/math]

dove gli
[math]a_i[/math]
sono i suoi vettori riga, avrai
[math]A V=\left(\begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\cdot(v_1\ v_2\ v_3)=
\left(a_i v_i\right)_{i,j}=\left(\lambda_1 v_1\ \lambda_2 v_2\ \lambda_3 v_3\right)=\\
\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3
\end{array}\right)\cdot V[/math]

cioè

[math]A V=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3
\end{array}\right)\cdot V[/math]

da cui, moltiplicando ambo i membri a sinistra per
[math]V^{-1}[/math]
si ottiene
[math]V^{-1} A V=V^{-1}\cdot\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3
\end{array}\right)\cdot V[/math]

e ricordando che una matrive diagonale commuta con qualsiasi altra

[math]V^{-1} A V=V^{-1}\cdotV\cdot\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3
\end{array}\right)=I_3\cdot\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3
\end{array}\right)[/math]
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