Kindot
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Ciao a tutti, potete aiutarmi a risolvere questo esercizio? Non riesco a trovare neanche la teoria da cui proviene.

Sia data la funzione

f(x):= 1-x se x appartiene a [0,1]
-1 se x appartiene a ]1,2]

(1) scrivere le espressioni di f+ ed f- ;
(2) calcolare la misura dei rettangoloidi Rf+, Rf- e Rf .
(si suggerisce di disegnare il grafico di f)


GRAZIE

Questa risposta è stata cambiata da TeM (13-07-15 01:32, 2 anni 3 mesi 13 giorni )
TeM
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Data una funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := \begin{cases} 1 - x & \text{se} \; 0 \le x \le 1 \\ - 1 & \text{se} \; 1 < x \le 2 \end{cases}\\[/math]

si definisce parte positiva di
[math]f\\[/math]
la funzione
[math]f^+(x) := \max\{f(x),\,0\} = \begin{cases} f(x) & \text{se} \; f(x) > 0 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}\\[/math]

e si definisce parte negativa di
[math]f\\[/math]
la funzione
[math]f^-(x) := - \min\{f(x),\,0\} = \begin{cases} - f(x) & \text{se} \; f(x) < 0 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}\\[/math]

A te applicare tali definizioni al tuo caso particolare. ;)
Kindot
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Allora intanto grazie della risposta. Mi spieghi cosa vuol dire max e min {f(x),0}?

Da quel che ho capito sarebbe

f+ 1-x

giusto?

f- sinceramente non so forse 1?

Ma non sto capendo XD
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, date le funzioni
[math]f,\,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
, si definiscono rispettivamente:
[math]\begin{aligned}
& \max\{ f,\,g \} := \begin{cases} f & \text{se} \; f \ge g \\ g & \text{altrimenti} \end{cases} \; ; \\

& \color{white}{.} \\

& \min\{ f,\,g \} := \begin{cases} f & \text{se} \; f \le g \\ g & \text{altrimenti} \end{cases} \; ; \\

& \color{white}{.} \\

& f^+ := \max\{ f,\,0 \} \; ; \\

& \color{white}{.} \\

& f^- := - \min\{ f,\,0 \} \; ;

\end{aligned}\\[/math]

dove, naturalmente, tali funzioni sono definitive in
[math]\text{dom}[f]\cap \text{dom}[g]\\[/math]
.

Alla luce di tali definizioni, data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := \begin{cases} 1 - x & \text{se} \; 0 \le x \le 1 \\ - 1 & \text{se} \; 1 < x \le 2 \end{cases}\\[/math]

segue che

[math]\begin{aligned}
& f^+(x) = \begin{cases} 1-x & \text{se} \; 0 \le x < 1 \\ 0 & \text{se} \; 1 \le x \le 2 \end{cases} \; ; \\

& \color{white}{.} \\

& f^-(x) = \begin{cases} 1 & \text{se} \; 1 < x \le 2 \\ 0 & \text{se} \; 0 \le x \le 1 \end{cases} \; .

\end{aligned}\\[/math]

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
Kindot
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ok più o meno ci sono. Per quanto riguarda i rettangoloidi mi sai dare delucidazioni?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Data una funzione
[math]f : [a,\,b] \to \mathbb{R}[/math]
continua in
[math][a,\,b][/math]
e
definita da
[math]y = f(x)[/math]
, si definisce rettangoloide di base
[math][a,\,b][/math]
relativo ad
[math]f[/math]
il seguente sottoinsieme di
[math]\mathbb{R}^2[/math]
:
[math]R := \left\{(x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : a \le x \le b, \; 0 \le y \le f(x)\right\} \; .\\[/math]

La misura di tale dominio è banalmente:
[math]|R| = \int_a^b f(x)\,\text{d}x\\[/math]
.
Ti consiglio di aprirlo il libro di analisi matematica, non morde. ;)
Kindot
Kindot - Ominide - 23 Punti
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Ad avercelo.. :P grazie comunque credo di aver capito tutto, gentilissimo!
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