insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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salve vi prego avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio.

Trovare, se esistono,i punti di massimo e minimo relativo e assoluto della funzione:
[math]f(x,y)=x^{2}+3y^{2}-xy-y[/math]

ho provato a svolgero in tale maniera.
Calcoliamo le derivate prime:
[math]f'(x)=2x-y[/math]
e
[math]f'(y)=6y-x-1[/math]

risolviamo il sistema delle derivate parziali prime poste uguali a zero
[math]\left\{\begin{matrix}
2x-y=0 & \\
6y-x-1=0&
\end{matrix}\right.[/math]
[math]\rightarrow [/math]
[math]\left\{\begin{matrix}
x=\frac{1}{11} & \\
y=\frac{2}{11}&
\end{matrix}\right.[/math]

queste sono le coordinate di un punto stazionario.

ora mi sono bloccato e non sò come proseguire.
per favore aiutatemi se mi potete gentilmente aiutare.
grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Data la funzione
[math]f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x,\,y) := x^2 + 3\,y^2 - x\,y - y\\[/math]
i propri punti critici sono quelli tali per cui si annulla il gradiente:

[math]\nabla f(x,\,y) = (0,\,0) \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} 2\,x - y = 0 \\ 6\,y - x - 1 = 0 \end{cases}\\[/math]
ossia
[math]A\left(\frac{1}{11}, \; \frac{2}{11}\right)[/math]
. Dal momento che la disequazione
[math]f(A)\le f(x,\,y)[/math]
è
verificata per qualsiasi
[math](x,\,y) \in \mathbb{R}^2[/math]
, per definizione,
[math]A[/math]
è minimo assoluto
per
[math]f[/math]
. Tutto qui. ;)
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