mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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ciao, ho un grosso problema nel trovare i punti di massimo e minimo di questa funzione a due variabili:

[math]f(x,y)= 3x^2+y^2+3xy+1[/math]

su

[math]D=\begin{cases} x^2-y^2\ge1 \\
x^2+y^2\le 4 \end{cases} [/math]

quindi l'insieme su cui determinare i massimi e minimi di quella funzione è questo:

ho iniziato calcolando le derivate parziali imponendo l'annullamento del gradiente:

[math]f_x(x,y)= 6x+3y \\ f_y(x,y)= 2y+3x \\ \begin{cases} 6x+3y=0 \\
2y+3x=0 \end{cases} [/math]

dove l'unica soluzione del sistema è (0,0), cioè un punto al di fuori del dominio che quindi ho scartato. Ora dovrei passare sul bordo e qui nascono i problemi... :cry

mc2
mc2 - Genius - 14794 Punti
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Hai provato in coordinate polari? Almeno il bordo dovrebbe essere definito in modo semplice

mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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e no, non ci ho pensato. Come dovrei procedere?

mc2
mc2 - Genius - 14794 Punti
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Sostituisci nella funzione

[math]x=r\cos\theta[/math]
,
[math]y=r\sin\theta[/math]
.
Il bordo della circonferenza diventa r=4 e avrai una funzione da variare solo rispetto alla variabile theta.

Il bordo dell'iperbole e` piu` complicato, ma tu puoi studiarlo passando in coordinate iperboliche:

[math]x=r\cosh\theta[/math]
,
[math]y=r\sinh\theta[/math]
...
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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allora sostituendo

[math]x=r\cos\theta[/math]
e
[math]y=r\sin\theta[/math]

nella funzione ottengo

[math]f(\theta)=2r^2\cos^2\theta + 3r^2\cos\theta\sin\theta+r^2+1[/math]
mc2
mc2 - Genius - 14794 Punti
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Bene, ora

[math]f'(\theta)\ge 0~~~\Longrightarrow ~~~ \tan(2\theta)\le \frac{3}{2}[/math]

quindi c'e` un massimo relativo per
[math]\theta=\theta_0[/math]
tale che
[math]\theta_0=\frac{1}{2}\mbox{arctan}\frac{3}{2}[/math]

Devi controllare che il punto di coordinate
[math](4\cos\theta_0,4\sin\theta_0)[/math]
sia dentro il dominio (ovviamente sara` sul bordo, ma deve stare entro il ramo di iperbole richiesto).
Per il ramo di iperbole fai la stessa cosa con le coordinate iperboliche
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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scusa, lo so che è banale, ma come arrivo a

[math]\tan(2\theta)\le \frac{3}{2}[/math]

cioè devo derivare una volta la funzione

[math] f(\theta)[/math]
e poi?
mc2
mc2 - Genius - 14794 Punti
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La tua funzione sul bordo del dominio costituito dall'arco di circonferenza (r=4) e`:

[math]f(4,\theta)=32\cos^2\theta+48\cos\theta\sin\theta+17[/math]

Calcoli la derivata rispetto a theta (r e` costante sull'arco di circonferenza):
[math]\frac{df}{d\theta}(4,\theta)=-64\cos\theta\sin\theta+48(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=-32\sin 2\theta+48\cos 2\theta\ge 0\\
2\sin 2\theta \le 3\cos 2\theta[/math]
eccetera
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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chiaro :thx

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