scaccoalRe
scaccoalRe - Ominide - 2 Punti
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Dato il compatto D ⊂ R^2, regolare, definito da
D = (x, y) ∈ R^2| 4 ≤ x2 + 4y2 ≤ 16, x ≥ 0 , calcolare I = D
x2dxdy .
Indicata, poi, con +∂D la frontiera del dominio D percorsa in verso antiorario (positivo), verificare
il risultato ottenuto mediante l’applicazione delle formule di Green. Calcolare, cio`e, I mediante un
opportuno integrale esteso alla frontiera (∂D) del dominio D. ps dopo I=D c'è un integrale, qualcuno sa dirmi come fare?? grazie in anticipo
ciampax
ciampax - Tutor - 29255 Punti
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Dunque, vediamo se ho capito: il dominio è

[math]D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 4\le x^2+y^2\le 16,\ x\ge 0\}[/math]

Vogliamo

1) calcolare l'integrale
[math]I=\int\int_D x^2\ dx\ dy[/math]

2) calcolare
[math]I[/math]
per mezzo delle formule di Green.

Vediamo un po':

1) Il dominio è una corona circolare di raggi 2 e 4, definita però solo sul parte delle ascisse positive. La cosa migliore è passare a coordinate polari, ottenendo

[math]x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta[/math]

E' immediato verificare che

[math]\rho\in[2,4][/math]
(limitazione dei raggi delle due corone)
[math]\theta\in[-\pi/2,\pi/2][/math]
(gli angoli corrispondenti al I e IV quadrante, dove le x sono positive).
Pertanto, essendo lo Jacobiano della trasformazione
[math]J=\rho[/math]
si ha
[math]I=\int_2^4\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \rho^2\cos^2\theta\ \rho\ d\theta\ d\rho=\left(\int_2^4 \rho^3\ d\rho\right)\cdot\left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta\ d\theta\right)[/math]

Per il primo termine si ha

[math]\int_2^4 \rho^3\ d\rho=\left[\frac{\rho^4}{4}\right]_2^4=\frac{256}{4}-\frac{16}{4}=60[/math]

mentre per il secondo, usando la formula di bisezione
[math]\cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}[/math]

[math]\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta\ d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\ d\theta=\frac{1}{2}\left[t+\frac{\sin(2t)}{2}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{1}{2}[\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}]=\frac{\pi}{2}[/math]

Pertanto
[math]I=30\pi[/math]
.
Aggiunto 24 minuti più tardi:

2) per il secondo punto, ricordiamo che le formule di Green affermano quanto segue:

[math]\int\int_D\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial x}\right)\ dx\ dy=\int_{+\partial D}(f\ dx+g\ dy)[/math]

dove
[math]f,g[/math]
sono due funzioni definite sul dominio
[math]D[/math]
e
[math]+\partial D[/math]
la frontiera percorsa in senso positivo (cioè in modo che l'interno del del dominio risulti sempre a sinistra lungo il senso di percorrenza).
Per prima cosa vediamo come è fatta la frontiera: essa è costituita dalle due circonferenze
[math]C_2,\ C_4[/math]
di centro l'origine e raggi 2,4 rispettivamente. Le loro parametrizzazioni positive sono
[math]C_4:\ x=4\cos t,\ y=4\sin t,\ t\in[0,2\pi][/math]
(percorsa in senso antiorario)
[math]C_2:\ x=2\cos t,\ y=2\sin t,\ t\in[0,2\pi][/math]
(percorsa in senso orario)
Questo implica che l'integrale sul bordo va scritto così

[math]\int_{+\partial D}=\int_{C_2}-\int_{C_4}[/math]

Ora vediamo come dobbiamo scrivere la funzione integranda. Dal momento che

[math]f_y-g_x=x^2[/math]

possiamo optare per varie scelte: io consiglio per una questione di praticità di porre
[math]g(x,y)=0,\ f(x,y)=yx^2[/math]
in modo da avere la seguente espressione per l'integrale (ricorda che
[math]dx=-4\sin t\ dt[/math]
sul cerchio esterno e
[math]dy=-2\sin t\ dt[/math]
su quello interno):
[math]I=-\int_0^{2\pi} 64\sin t\cos^2 t\ (-4\sin t)\ dt+\int_0^{2\pi} 8\sin t\cos^2 t\ (-2\sin t)\ dt=[/math]

[math]=240\int_0^{2\pi}\sin^2 t\cos^2 t\ dt=60\int_0^{2\pi}\sin^2(2t)\ dt=30\int_0^{2\pi}(1-\cos(4t))\ dt=[/math]

[math]=30\left[\frac{t}{2}-\frac{\sin(4t)}{4}\right]_0^{2\pi}=30\left[\pi-0\right]=30\pi[/math]

Spero sia chiaro.
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