a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Buonasera quale regola sarebbe opportuno applicare per risolvere questo integrale?
Integrale di (3)^x per x in dx
Io pensavo si integrasse per parti:
Ho motiplicato per 2 e per 1/2 all'esterno perché 2x è la derivata di x^2 pero2 mi sto perdendo con i conti
Qualcuno potrebbe per favore darmi qualche consiglio? Non so se invece sia meglio integrare per sostituzione
Grazie mille

mc2
mc2 - Genius - 14194 Punti
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Si puo` usare l'identita` (conseguenza della definizione di logaritmo):

[math]3^x=e^{x\log 3}[/math]
Nell'integrale si fa un cambio di variabile:
[math]y=x\log 3[/math]
,
[math]dy=\log 3 dx[/math]
per cui:
[math]\int 3^x x dx=\int e^{x\log 3}x dx=\int e^y \frac{y}{\log 3}\frac{dx}{\log 3}=\frac{1}{(\log 3)^2}\int e^y y dy=[/math]

Ora si puo` integrare per parti ed il risultato viene:


[math]=\frac{1}{(\log 3)^2}(ye^y-e^y)+C=\frac{1}{(\log 3)^2}\left(
x\log 3 e^{x\log 3}-e^{x\log 3}\right)+C=
\frac{3^x\,x}{\log 3}-\frac{3^x}{(\log 3)^2}+C
[/math]

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Un altro metodo e` ricordarsi la regola di derivazione per la potenza:

[math]D(a^x)=a^x\log a[/math]
, quindi integri subito per parti:
[math]\int 3^x x dx=\int x d\left[\frac{3^x}{\log 3}\right]=ecc.[/math]

ed in un attimo arrivi allo stesso risultato. Io pero` preferisco ricordarmi le proprieta` dei logaritmi, piuttosto che le derivate delle potenze...
a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Grazie mille avrei ancora un dubbio sugli kntegrami generalizzati per esempio
Integrale nell'intervallo -1 scritto in alto e -infinito scritto in basso di 1/x in dx si scompone in intervalli diversi? Qundi si fa F(b)-F(a) per ogni singolo integrale "scomposto"? Grazie mille

mc2
mc2 - Genius - 14194 Punti
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Perche' lo vuoi scomporre? E` un integrale divergente (in -infinito) e non c'e` niente da fare.

a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Perché i divergenti non si scompongono allora sto capendo male la teoria. Come faccio a risolverlo scrivo che l'integrale è impossibile? Perché non si può scomporre?

Aggiunto 3 minuti più tardi:

[img]http://[/img]

Aggiunto 53 secondi più tardi:

Come mai l'immagine che pubblico non si vede ?

Aggiunto 9 minuti più tardi:

In pratica io ho seguito questo esempio allegatodi integrale divergente $(0in alto e meno infinito in basso)

Aggiunto 3 minuti più tardi:[/b

mc2
mc2 - Genius - 14194 Punti
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In questo esempio l'integrale non e` scomposto.

Questo esempio e` fatto per spiegare perche' l'integrale diverge: viene messo un limite inferiore c fittizio che poi viene fatto tendere ad infinito. Ed il risultato e` infinito.


Se vuoi puoi fare lo stesso ragionamento nell'integrale che hai detto prima:

[math]\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{x}dx=
\lim_{c\to \infty}\int_{-c}^{-1}\frac{1}{x}dx= eccetera
[/math]

E arrivi a dimostrare che l'integrale e` divergente.

Ma questo non e` "scomporre un integrale".

a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Quindi dopo che faccio la differenza tra le primitive viene impossibile?

mc2
mc2 - Genius - 14194 Punti
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No, viene infinito.

a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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C'è scritto sul libro che "l'integrale"non esiste" quindi come mai che viene infinito non riesco a trovarmi con i calcoli viene infinito la differenza? Mi riferisco all'integrale iniziale. 1/x grazie mille scusi

mc2
mc2 - Genius - 14194 Punti
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"L'integrale non esiste" vuol dire che e` infinito.

Alcuni libri dicono "L'integrale diverge", altri dicono "l'integrale non esiste" (usando una definizione piu` restrittiva).


[math]\int_{-\infty}^{-1}\frac{dx}{x}=
\lim_{c\to\infty}\int_{-c}^{-1}\frac{dx}{x}=
\lim_{c\to\infty}\left(\log|-1|-\log|-c|\right)=\lim_{c\to\infty}\log c=\infty
[/math]
a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Ok grazie mille è stata davvero di aiuto scusi il disturbo

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