rodrigoruiz1
rodrigoruiz1 - Ominide - 32 Punti
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Ecco il testo:

[math] y=\frac{3x^2-3}{x(x^2-3x)}[/math]

l'unico modo per calcolarlo è quello di moltiplicare la x e vedere se la derivata del denominatore è il numeratore (o si assomiglia) e finisco con un

3x^2-6x ma non so in che modo relazionarlo a 3x^2-3

Grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Quella è l'unica strategia che ti è venuta in mente e come hai
ben constatato non è questo il caso in cui la si può applicare!!

In particolare, facendo riferimento alla scomposizione in fratti semplici, si ha

[math]
\begin{aligned}
\frac{3x^2 - 3}{x^2\,(x - 3)}
& = \frac{A_1}{x^2} + \frac{A_2}{x} + \frac{A_3}{x - 3} \\
& = \frac{A_1\,(x - 3) + A_2\,x\,(x - 3) + A_3\,x^2}{x^2\,(x - 3)} \\
& = \frac{(A_2 + A_3)\,x^2 + (A_1 - 3\,A_2)\,x - 3\,A_1}{x^2\,(x - 3)}
\end{aligned}\\
[/math]
e tale uguaglianza risulta una identità se e soltanto se

[math]\begin{cases} 3 = A_2 + A_3 \\ 0 = A_1 - 3\,A_2 \\ - 3 = - 3\,A_1 \end{cases} \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} A_1 = 1 \\ A_2 = \frac{1}{3} \\ A_3 = \frac{8}{3} \end{cases} \; .\\[/math]

Dunque, grazie alla linearità degli integrali, segue che

[math]\int \frac{3x^2 - 3}{x^2\,(x - 3)}\,\text{d}x = \int \frac{1}{x^2}\,\text{d}x + \frac{1}{3}\int \frac{1}{x}\,\text{d}x + \frac{8}{3}\int \frac{1}{x - 3}\,\text{d}x = \dots\\[/math]

A te concludere. ;)
rodrigoruiz1
rodrigoruiz1 - Ominide - 32 Punti
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Grazie tem, chiarissimo come sempre! :D
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