mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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Ciao :) devo calcolare quest'integrale:

[math]\int_{T}^{} ln(3x+2y)\ dxdy\\[/math]
con
[math]T=triangolo\ di\ vertici\ (0,0)\,\ (3,-1)\,\ (2,1)\\[/math]



ho iniziato disegnando il triangolo
[math]\ ABC\ [/math]
sul piano cartesiano, e ho calcolato l'equazioni delle rette passanti per i punti
[math]\ A\ [/math]
,
[math]\ B\ [/math]
e
[math]\ C\\[/math]

con
[math]y_{AB}=\frac{x}{2}\\[/math]
[math]y_{BC}=5x\\[/math]
[math]y_{AC}=\frac{-x}{3}\\[/math]
ho scomposto il dominio di integrazione in
[math]T_{1}=((x,y)\in\ R^{2}\:\ 0 \leq\ x\leq2,\ \frac{x}{2}\leq y \leq\frac{-x}{3})\\[/math]
e
[math]T_{2}=((x,y)\in\ R^{2}\:\ 2\leq x\leq 3,\ \ 5x\leq y\leq\frac{-x}{3})\\[/math]
scomponendo l'integrale così:
[math]\int_{0}^{2} \int_{\frac{x}{2}}^{\frac{-x}{3}} ln(3x+2y)\ dxdy\ +\ \int_{2}^{3} \int_{5x}^{\frac{-x}{3}} ln(3x+2y)\ dxdy\\[/math]

arrivato a questo punto non riesco ad andare avanti,fino qui è corretto?
grazie.
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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La trasformazione inversa è

[math] u = (2x+y)/\sqrt{5}, v = (-x+2y)/\sqrt{5}[/math]

se è questo che chiedi.
Nota che se
[math]\alpha[/math]
è l’angolo di rotazione degli assi cartesiani, allora
[math]\cos \alpha = 2/\sqrt{5}[/math]
,
[math]\sin \alpha = 1/\sqrt{5}[/math]
; da qui le formule di cambiamento di coordinate.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Detto
[math]T[/math]
il triangolo di vertici
[math](0,\,0), \; (3,\,-1), \; (2,\,1)[/math]
, si nota che
[math]\small T := T_1 \cup T_2[/math]
, dove
[math]\small T_1 := \left\{(x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le x \le 2, \; -\frac{x}{3} \le y \le \frac{x}{2}\right\}[/math]
e
[math]\small T_2 := \left\{(x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : 2 \le x \le 3, \; -\frac{x}{3} \le y \le -2x+5\right\}\\[/math]
.
Dunque, si ha
[math]\small \iint\limits_T \log(3x + 2y)\,dx\,dy = \int_0^2\left(\int_{-\frac{x}{3}}^{\frac{x}{2}}\log(3x + 2y)\,dy\right)dx + \int_2^3\left(\int_{-\frac{x}{3}}^{-2x+5}\log(3x + 2y)\,dy\right)dx\\[/math]
.
A te proseguire con l'integrazione per parti. ;)
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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ecco proprio da qui nascono i problemi :cry
integrando per parti ottengo:
[math]\int_{0}^{2} \left([y\ln(3x+2y)]_{\frac{-x}{3}}^{\frac{x}{2}}-\int_{\frac{-x}{3}}^{\frac{x}{2}} {\frac{2y}{3x+2y}} dy\right)dx \\+ \int_{2}^{3} \left([y\ln(3x+2y)]_{\frac{-x}{3}}^{{-2x+5}}-\int_{\frac{-x}{3}}^{{-2x+5}} {\frac{2y}{3x+2y}} dy\right)dx[/math]
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Innanzitutto spero che tu abbia capito gli errori nella determinazione di
[math]T_1[/math]
e
[math]T_2[/math]
, soprattutto il calcolo dell'equazione di una retta passante per due punti!!
Per il resto, che dire, hai integrato bene fin lì, avanti!! :D
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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I calcoli si semplificano notevolmente mediante un cambiamento di coordinate ortogonali.

L’angolo
[math]OBC[/math]
è retto.
Sia
[math]Ouv[/math]
il riferimento ortogonale ottenuto ruotando
[math]Oxy[/math]
attorno
[math]O[/math]
, in modo che il semiasse positivo
[math]Ou[/math]
coincida con la semiretta
[math]OB[/math]
.
Il cambiamento di coordinate è

[math]x = (2u-v)/\sqrt{5}, y = (u+2v)/\sqrt{5}[/math]


con determinante jacobiano 1

[math]\ln(3x+2y) = \ln(8u+v) - \frac{1}{2}\ln5[/math]


sicché

[math]\iint\limits_T { \ln(3x+2y) \,dx\,dy} =[/math]


[math]\int\limits_0^{\sqrt{5}} \big[ \int\limits_{-u}^0 \big( \ln(8u+v) - \frac{1}{2}\ln5 \big)dv \big] du =[/math]


[math]60 \ln2 - \frac{35}{2}\ln7 - \frac{15}{4}[/math]
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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grazie!!! così è molto più semplice :thx

un'ultima cosa, nel cambiamento di variabili hai espresso x e y in termini di u e v. Ma u e v a cosa sono uguali???
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