gasx95
gasx95 - Erectus - 121 Punti
Salva
Ciao a tutti :)

Dovrei disegnare il grafico di questa funzione integrale ma l'integrale non riesco a risolverlo e provando anche con i risolutori online mi pare di aver capito che non possa essere risolto.

Mi chiedevo: c'è un modo anche più veloce per disegnare la funzione integrale senza risolvere l'integrale ?
Ho già studiato monotonia e concavità ma non riesco a dimostrare che è dispari e non so come calcolare i limiti per x->+infinito e -infinito della funzione integrale.

Grazie in anticipo :)
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
Salva
Hai la funzione
[math]f : R \to R[/math]
definita da

[math]f(x) = \int\limits_0^{2x}{\dfrac{e^{-t^2}}{1+t^2}\,dt}[/math]


Non c’è modo di esprimere questo integrale in termini di funzioni elementari, ma questo, ai fini dell’esercizio non è necessario. Infatti, applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale, è facile calcolare la funzione derivata

[math]f’(x) = 2\dfrac{e^{-4x^2}}{1+4x^2} [/math]


quindi la derivata seconda.
Ora dovresti sapere come continuare.
Per verificare che
[math]f[/math]
è dispari, sostituisci
[math]t[/math]
con
[math]-t[/math]
nell’integrale.
Per dimostrare che
[math]f[/math]
possiede asintoto orizzontale destro, osserva che
a) poiché
[math]f[/math]
è crescente in
[math]R[/math]
, esiste
[math]\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \sup f[/math]
, finito o infinito;
b) tale limite è finito in quanto
[math]e^{-t^2} \le 1[/math]
per ogni
[math]t[/math]
, quindi per ogni
[math]x \ge 0[/math]

[math]f(x) \le \int\limits_0^{2x}{\dfrac{1}{1+t^2}\,dt} = \arctan(2x) < \dfrac{\pi}{2}[/math]
.
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa

Lascia un messaggio ai conduttori Vai alla pagina TV

In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di settembre
Vincitori di settembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

andrea1085

andrea1085 Blogger 2087 Punti

VIP
Registrati via email