Selesca
Selesca - Ominide - 6 Punti
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Ciao! Avrei bisogno di un aiuto su un tipo di esercizio un po' ostico.


Nel piano affine reale sono dati il punto A(1,1), il punto B(2,2) e le rette
r: x = y - 1 ed s: x = 0

Determinare, se esistono, tutte le affinità f : A^2(|R) -> A^2(|R) tali che
f(A) = B f(r) = r f(s) = s

Tra le affinità trovate, c'è qualche isometria?

Mi piacerebbe anche sapere in genere come dovrei comportarmi quando non ho esattamente tre punti indipendenti e quindi l'affinità non è unica.
Spero di essere stata chiara, e spero che qualcuno sappia aiutarmi :scratch
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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Un metodo generale per risolvere questo tipo di problemi è partire dall’equazione della generica affinità del piano
[math]f(x,y) = (ax+by+p, cx+dy+q)[/math]
e impostare le equazioni in
[math]a, b, c, d, p, q[/math]
dedotte dai dati del problema.
In questo caso la condizione
[math]f(s) = s[/math]
, la più semplice delle tre, diventa
[math]f(0,y) = (by+p, dy+q) \in s \quad \forall y[/math]

cioè

[math]by+p = 0 \quad \forall y[/math]

che dà

[math]b = 0, p = 0[/math]

e quindi

[math]f(x,y) = (ax, cx+dy+q)[/math]
.
La condizione
[math]f(r) = r[/math]
diventa
[math]f(y-1,y) = (ay-a, cy-c+dy+q) \in r \quad \forall y[/math]

cioè

[math]ay-a = cy-c+dy+q-1 \quad \forall y[/math]

che dà

[math]d = a-c, q = c-a+1[/math]

e quindi

[math]f(x,y) = (ax, cx+(a-c)y+c-a+1)[/math]
.
Infine la condizione
[math]f(A) = B[/math]
diventa
[math](a, c+1) = (2,2)[/math]

che dà

[math]a = 2, c = 1[/math]

e quindi

[math]f(x,y) = (2x, x+y)[/math]
.
L’affinità è unica e non è un’isometria.
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