stella.rad85
stella.rad85 - Ominide - 48 Punti
Salva
ciao a tutti, ho un problema con due concetti di geometria che su libro non sono proprio scritti e sugli appunti ovviamente non si capisce niente!
chi mi sa spiegare:
1) Estrazione di una base da un insieme di generatori
2) Completamento di un insieme linearmente indipendente ad una base

grazie mille
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
Salva
1. Teorema di estrazione di una base

Sia
[math]V[/math]
uno spazio vettoriale di dimensione
[math]n[/math]
su un campo
[math]K[/math]
.
Se
[math]\mathbf{v}_{1}, \; \mathbf{v}_2, \; \dots, \; \mathbf{v}_h[/math]
sono vettori che generano
[math]V[/math]
, allora si ha
[math]h \ge n[/math]
ed esistono
[math]n[/math]
vettori
[math]\mathbf{v}_1, \; \mathbf{v}_2, \; \dots, \; \mathbf{v}_n[/math]
che formano
una base di
[math]V\\[/math]
.

2. Algoritmo di estrazione di una base

A titolo d'esempio, ci prefiggiamo di estrarre una base di
[math]\mathbb{R}^3[/math]
dal-
l'insieme di generatori:
[math]\mathbf{v}_1 = (1, \; 1, \; 0)[/math]
,
[math]\mathbf{v}_2 = (0, \; 1, \; 1)[/math]
,
[math]\mathbf{v}_3 = (1, \; 0, \; -1)[/math]
,
[math]\mathbf{v}_4 = (0, \; 1, \; 0)[/math]
. Dato che
[math]\mathbf{v}_1 \ne \mathbf{0}[/math]
non
va scartato, è il nostro primo vettore della base desiderata. Quindi,
dato che
[math]\mathbf{v}_2 \ne \lambda\,\mathbf{v}_1[/math]
per qualsiasi
[math]\lambda \in \mathbb{R}[/math]
non va scartato nem-
meno
[math]\mathbf{v}_2[/math]
che è il nostro secondo vettore della base ricercata. Ora,
dato che
[math]\mathbf{v}_3 = \lambda\,\mathbf{v}_1 + \mu\,\mathbf{v}_2[/math]
per
[math]\lambda = 1[/math]
e
[math]\mu = -1[/math]
, segue che
[math]\mathbf{v}_3[/math]
va scartato. Dulcis in fundo, in accordo col teorema di cui sopra,
si ha
[math]\mathbf{v}_4 \ne \lambda\,\mathbf{v}_1 + \mu\,\mathbf{v}_2[/math]
per qualsiasi
[math]\lambda,\,\mu \in \mathbb{R}[/math]
e quindi
[math]\mathbf{v}_4[/math]
è
il terzo ed ultimo vettore componente la base cercata che risulta essere
composta dai vettori
[math]\mathbf{v}_1, \; \mathbf{v}_2, \; \mathbf{v}_4\\[/math]
. Fine dell'algoritmo e dell'esercizio.

3. Teorema di completamento a base

Sia
[math]V[/math]
uno spazio vettoriale di dimensione
[math]n[/math]
su un campo
[math]K[/math]
.
Se
[math]\mathbf{v}_{1}, \; \mathbf{v}_2, \; \dots, \; \mathbf{v}_h[/math]
sono vettori linearmente indipendenti in
[math]V[/math]
,
allora si ha
[math]h \le n[/math]
ed esistono
[math]n-h[/math]
vettori
[math]\mathbf{v}_{h+1}, \; \dots, \; \mathbf{v}_n[/math]
tali
che l'insieme ordinato
[math]\mathbf{v}_1, \; \dots, \; \mathbf{v}_h, \; \mathbf{v}_{h+1}, \; \dots, \; \mathbf{v}_n[/math]
è base di
[math]V\\[/math]
.

4. Algoritmo di completamento a base

A titolo d'esempio, ci prefiggiamo di completare a base in
[math]\mathbb{R}^3[/math]
l'insieme di
vettori linearmente indipendenti
[math]\mathbf{v}_1 = (2, \; 1, \; 0)[/math]
,
[math]\mathbf{v}_2 = (1, \; 1, \; 0)[/math]
.
In accordo col teorema appena scritto, esiste un terzo vettore che forma una
base coi due considerati. In particolare, aggiungendo a tali vettori la base
canonica di
[math]\small \mathbb{R}^3[/math]
, si ottiene l'insieme
[math]\mathbf{v}_1 = (2, \; 1, \; 0)[/math]
,
[math]\mathbf{v}_2 = (1, \; 1, \; 0)[/math]
,
[math]\mathbf{v}_3 = (1, \; 0, \; 0)[/math]
,
[math]\mathbf{v}_4 = (0, \; 1, \; 0)[/math]
,
[math]\mathbf{v}_5 = (0, \; 0, \; 1)[/math]
. Di tali vettori,
l'algoritmo di estrazione mantiene i primi due (perché linearmente indipendenti)
ed elimina il terzo e il quarto (entrambi generati dai primi due), tenendo di con-
seguenza il quinto. In conclusione, la base cercata risulta essere composta dai
vettori
[math]\mathbf{v}_1, \; \mathbf{v}_2, \; \mathbf{v}_5\\[/math]
. Fine dell'algoritmo e dell'esercizio.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di agosto
Vincitori di agosto

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

Registrati via email