MARTINA90
MARTINA90 - Genius - 4930 Punti
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Funzioni monotone possono essere crescenti o decrescenti qunado:
crescente in x se

[math]\foral\x1\x2\inx[/math]
[math]x1<x2[/math]
------>
[math]f(x1)\leqf(x2)[/math]
tutta sta spatafiata qua significa in pratica una volta disegato il grafico della funzione vado a vedere la parte che risulta crescente o decrescente in base al grafico e dico alla fine e crescente da x es [0;9] opp e strettamente crescente o decrescente. giusto?

Aggiunto 2 minuti più tardi:

ecco cm nn detto io odio usare il latex uffy!
ricapitolo:
monotona crescente in x se per ogni x1,x2 appartenente ad x
x1<x2 ----> f(x1)

[math]\leq/math f(x2)
Aggiunto 1 minuti più tardi:

x1<x2 ----> f(x1)[math]\leq[/math]

f(x2)
Aggiunto 16 ore 53 minuti più tardi:

Piu che altro è ke non riesco a capire la definizione. ai fini di un esercizio dove mi danno una funzione e mi dicono dimmi se è monotona crescente o decrescente, io per farlo devo disegnare il grafico della funzione x poi andare a vedere da che punto a che punto è monotona crescente o decrescente giusto?

Aggiunto 5 ore 19 minuti più tardi:

Tranquillo nessun problema.
Il fatto è ke non so se quello ke ho capito io sia il metodo giusto o meno. perchè a lezzione si facevano le cose moolto di fretta dando spesso cose per scontato. e qnd a spiegato qst partre a dato solo le definizioni dicendo che sono cose ke avremo gia dovuto affrontare anni fa alle superiori e quindi arraggiatevi.
gli es che ho sono stati svolti senza grafico perchè risultavano secondo la prof semplici.

Aggiunto 18 ore 54 minuti più tardi:

Se per es io ho la funzione

[math]f(x)=2x[/math]
allora so che è strettamente crescente perchè so cm'è il grafico senza stare a farlo.
ma se io ho una funzione piu complicata devo cmq stare a disegnare il grafico oppure c'è un modo che i permette di capirlo solo basandosi sulla definizione?
per es
[math]f(x)=x^2[/math]
è una parabola verso l'alto simmetrica rispetto all'origine. a questo punto faccio il grafico e dico se elimino la parte di destra è decrescente, mentre la parte di destra cresce. ma se io devo svolgerlo cn la definizione non riesco a capire perchè mi dice di fare
[math]\f(-1)>f(0)=0[/math]
[math]\f(0)=0\;<f(1)=1[/math]
f è strettamente crescente nell'intervallo
[math][0;\infinity][/math]
?
Aggiunto 3 minuti più tardi:

ricapitolo le ultime righe perchè nn sn riuscita cn latex
ma se io devo svolgerlo cn la definizione non riesco a capire perchè mi dice di fare

[math]1=f(-1)>f(0)[/math]
[math]f(0)=0<f(1)=1[/math]
f è strettamente crescente nell'intervallo [0;infinito]
[math][0;\infinity][/math]

Aggiunto 1 minuti più tardi:
[math]1=f(-1)>f(o)=0[/math]
avevo dimenticato l'uguale a zero prima
Aggiunto 3 ore 25 minuti più tardi:

Ma scusami un secondo

[math]f(x))=2x[/math]
non è una retta, e come tale è strettamente crescente.
Non tutte le funzione posso avere una parte crescente ed una decrescente ma posso essere solo crescenti o solo decrescenti. quindi facendo la derivata come faccio a capire qnd devo porre maggiore e uguale o minore e uguale a zero?

Aggiunto 1 ore 12 minuti più tardi:

Ho capito ke una funzione si dice monotona crescende qnd la sua derivata prima è maggiore o uguale a zero e monotona decrescente qnd la derivata prima della funzione è minore e uguale a zero. fin che la mia funzione di partenza e

[math]f(x)=x^2[/math]
non ci piove che sia in parte crescente e in parte decrescente. perchè ho in mente bn il grafico della funzione. Ma ammettiamo avessi una funzione piu complicata dove il grafico nn è immediato io ne faccio la derivata dopo di che pongo maggiore uguale a zero e minore uguale a zero la derivata.
Aggiunto 23 minuti più tardi:

Ok ci provo.
Ma che casino mi sto impallano a derivarla. Prova a darmi qualche suggerimento, perchè non riesco a derivarla.

Aggiunto 3 minuti più tardi:

la derivata del log è 1/l'argomento dell'log.
la derivata di una fraione è la derivata del numeratore x la non derivata del denominatore meno la derivata del denominatore per la non derivata del numeratore.
Giusto?

Aggiunto 31 minuti più tardi:

La derivata che ho risolto io ma che dubito sia giusta è la seguente.
a pezzi la derivata del log

[math]\frac{1}{(x^2-4)/(x^2-2)}*\frac{2x^3-4x^3+8x}{(x^2-2)^2}[/math]
[math]\frac{x^2-2}{x^2-4}\frac{12x}{(x^2-2)^2}[/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Ho fatto su un gran casino. mi a saltato due numeri nel primo passaggio che provo a riscrivere.

[math]\frac{1}{(x^2-4)/(x^2-2)}*\frac{2x*(x^2-2)*-2x(x^2-4)}{(x^2-2)^2}[/math]
primo passaggio
Aggiunto 1 minuti più tardi:

C'è qualcosa di giusto in quello ke ho scritto?

Aggiunto 1 ore 50 minuti più tardi:

Avevo letto male il testo ed invece che

[math]x^2-9[/math]
ho scritto
[math]x^2-2[/math]
cmq ok ho corretto il testo e ho risvoto tutti i passaggi e ci sn riuscita a derivarla. adesso devo dire se è crescente o decrescente giusto? quindi pongo maggiore o minore di zero il risultato?
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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Allora, data una funzione

[math]f: A\rightarrow\mathbb{R}[/math]
e presi due punti qualsiasi
[math]x_1,\ x_2\in A,\ x_1<x_2[/math]
essa si dice
1) monotona crescente se
[math]f(x_1)\leq f(x_2)[/math]
;
2) monotona strettamente crescente se
[math]f(x_1)<f(x_2)[/math]
;
3) monotona decrescente se
[math]f(x_1)\geq f(x_2)[/math]
;
4) monotona strettamente decrescente se
[math]f(x_1)>f(x_2)[/math]
.
Era solo la definizione che ti interessava? O anche le condizioni affinché una funzione sia monotona?

Aggiunto 17 ore 41 minuti più tardi:

Bé, no: per risolvere un esercizio del genere lo puoi fare usando le derivate. Infatti vale il seguente risultato:

Data una funzione

[math]f:A\rightarrow\mathbb{R}[/math]
essa risulta
1) monotona crescente su
[math]A[/math]
se e solo se
[math]f'(x)\geq 0[/math]
per ogni
[math]x\in A[/math]
;
2) monotona decrescente su
[math]A[/math]
se e solo se
[math]f'(x)\leq 0[/math]
per ogni
[math]x\in A[/math]
.
Mi permetti di dirti una cosa da docente universitario di Analisi? Io credo che tu abbia delle "serie" lacune dal punto di vista della teoria, o meglio che tu non riesca a fare il "collegamento" tra la nozione teorica e l'esercizio pratico. Mi chiedo se hai una scorta adeguata di esercizi di esempio da seguire o meno. In ogni caso, ti consiglio per prima cosa di studiare con molta serietà la teoria, per chiarirti le nozioni e poi procedere con la parte pratica.

(Spero di non essere risultato offensivo: ti renderai conto che non è assolutamente mia intenzione offendere chicchessia. Se invece le ose che ho detto ti hanno infastidito ti prego di perdonarmi.)

Aggiunto 22 ore 22 minuti più tardi:

Per determinare la monotonia devi calcolare la derivata prima della funzione e usare il risultato che ti ho detto. Per

[math]f(x)=x^2[/math]
si ha
[math]f'(x)=2x[/math]
per cui la funzione risulta crescente per
[math]x\geq 0[/math]
e decrescente per
[math]x\leq 0[/math]
.
Aggiunto 1 ore 39 minuti più tardi:

Martina, ma il teorema che ti ho scrittolo hai capito? Mi sa tanto di no!

Aggiunto 19 minuti più tardi:

Prova a dirmi dove è monotona la funzione seguente:

[math]\log\left(\frac{x^2-4}{x^2-9}\right)[/math]

Per farlo, visto che il grafico non è immediato, devi calcolare la derivata. e poi vedere quando essa è positiva e quando negativa.

Aggiunto 2 ore 18 minuti più tardi:

Guarda che la derivata è questa:

[math]f'(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}\cdot\frac{2x(x^2-9)-2x(x^2-4)}{(x^2-9)^2}=-\frac{10x}{(x^2-4)(x^2-9)}[/math]
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