icaf
icaf - Sapiens - 717 Punti
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Qualcuno sarebbe in grado di risolvermi questo esercizio in modo particolare la rappresentazione grafica dato che non riesco... grazie mille!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Allora, quello che va fatto è, in sostanza, fare lo studio di due funzioni, una per le sole
[math]x<0[/math]
e uno per quelle positive. Non credo che dovresti avere problemi a farlo da sola, anche perché le funzioni sono abbastanza semplici. Ti scrivo i punti salienti.
1)
[math]f(x)=\frac{1}{(x+1)^3}-1[/math]


i) Dominio:
[math]D=(-\infty,-1)\cup(-1,0)[/math]

ii)
[math]f(x)=0[/math]
per nessun
[math]x<0[/math]
, quindi nessuna intersezione. E' immediato verificare che la funzione risulta allora positiva per
[math]x\in(-1,0)[/math]
e negativa per
[math]x\in(-\infty,-1)[/math]

iii)
[math]\lim_{x\to-\infty} f(x)=-1,\ \lim_{x\to -1^\pm} f(x)=\pm\infty[/math]
, pertanto
[math]y=-1[/math]
è asintoto orizzontale e
[math]x=-1[/math]
asintoto verticale
iv)
[math]f'(x)=-\frac{3}{(x+1)^4}<0[/math]
sul dominio, quindi la funzione è sempre decrescente
v)
[math]f''(x)=\frac{12}{(x+1)^5}[/math]
che risulta positiva (f convessa) su
[math](-1,0)[/math]
e negativa (f concava) su
[math](-\infty,-1)[/math]
; non ci sono flessi.

2)
[math]f(x)=\left|\frac{1}{2}-\cos x\right|[/math]

i) per la periodicità, restringiamo lo studio a
[math][0,2\pi][/math]
, che risulta il suo dominio (il dominio completo è
[math]x\ge 0[/math]
)
ii) la funzione è sempre maggiore o uguale di zero (è un valore assoluto) e si annulla quando
[math]\cos x=1/2[/math]
da cui
[math]x=\pi/3,\ x=5\pi/3[/math]
, per cui si hanno le intersezioni con l'asse delle ascisse
[math]A(\pi/3,0),\ B(5\pi/3,0)[/math]
. Inoltre passa per i punti
[math]C(0,1/2),\ D(2\pi,1/2)[/math]
. Non ci sono limiti da calcolare.
iii) Poiché
[math]f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
1/2-\cos x & & x\in[0,\pi/3]\cup[5\pi/3,2\pi]\\
& & \\ \cos x-1/2 & & x\in[\pi/3,5\pi/3]
\end{array}\right.[/math]
segue che
[math]f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\sin x & & x\in[0,\pi/3]\cup[5\pi/3,2\pi]\\
& & \\ -\sin x & & x\in[\pi/3,5\pi/3]
\end{array}\right.[/math]
e da questa cosa è facile verificare che si hanno i seguenti estremi:
- minimi:
[math]A,\ B[/math]
entrambi assoluti
- massimi:
[math]C,\ D[/math]
relativi e
[math]E(\pi,3/2)[/math]
assoluto.
Tralascio lo studio dei flessi, che si presentano comunque come per la funzione coseno, quando
[math]x=\pi/2,\ x=3\pi/2[/math]

Il grafico è riportato sotto. Digerisci questo e poi parliamo del resto.
icaf
icaf - Sapiens - 717 Punti
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ok... fino a qui tutto chiaro! grazie
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Bene. Per la continuità e derivabilità, puoi analizzare separatamente le due funzioni sui loro domini, e poi vedere cosa accade nel punto
[math]x=0[/math]
. Cosa concludi?
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