Ponzi93
Ponzi93 - Ominide - 2 Punti
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Esistenza applicazione lineare dati Kerf e Imf
Buongiorno a tutti! Ho un problema con il seguente esercizio:
Esiste una applicazione lineare f:[math]\Re^{4}\longrightarrow\Re^{4}[\math] diagonalizzabile tale che [math]Kerf=Imf=<(1,2,1,1);(2,1,3,-1)>[\math].

Io penso che non esista poichè non trovo quattro autovettori adatti sui quali descrivere l'applicazione con queste caratteristiche. Utilizzando il concetto di autovettori, autovalori:
[math]f(1,2,1,1)=0(1,2,1,1)=(0,0,0,0)\lmbda=0[\math]
[math]f(2,1,3,-1)=0(2,1,3,-1)=(0,0,0,0)\lmbda=0[\math]
dove soddisfo la richiesta di Kerf
[math]f((2,4,2,2)=(\frac{1}{2})(2,4,2,2)=(1,2,1,1)\lmbda=(\frac{1}{2})[\math]
[math]f(2,1,3,-1)=1(2,1,3,-1)=(2,1,3,-1)\lmbda=1[\math]
dove si soddisfano le condizioni su Imf,
Ma non è un'applicazione poichè non è definita su una base di [math]\Re^{4}[\math].
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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La risposta, negativa, non dipende dai due vettori.

Dati due vettori
[math]v_1, v_2[/math]
linearmente indipendenti in
[math]R^4[/math]
, non esiste una applicazione lineare
[math]f : R^4 \to R^4[/math]
diagonalizzabile tale che
[math]\text{Ker} f = \text{Im} f = <v_1, v_2>[/math]
.

Supponiamo, per assurdo, che esista una tale
[math]f[/math]
.
Allora esiste una base di autovettori di
[math]f[/math]
, tra i quali
[math]v_1, v_2[/math]
, dato che questi sono autovettori relativi all’autovalore 0. Sia
[math]B = \{v_1, v_2, w_1, w_2\}[/math]
questa base di autovettori.
[math]w_1, w_2[/math]
sono autovettori relativi ad autovalori non nulli, dato che non possono stare in
[math]\text{Ker} f[/math]
, cioè
[math]f(w_1) = \lambda_1 w_1[/math]
,
[math]f(w_2) = \lambda_2 w_2[/math]
, con
[math]\lambda_1 \neq 0[/math]
,
[math]\lambda_2 \neq 0[/math]
.
Ma allora

[math]\text{Im} f = <f(v_1), f(v_2), f(w_1), f(w_2)> = <\lambda_1 w_1, \lambda_2 w_2> = <w_1, w_2> \neq <v_1, v_2>[/math]
.
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