miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Ho un esercizio sulla diagonalizzazione che non riesco a risolvere. Data la seguente matrice:

[math]\begin{bmatrix}2&0&4\\t+1&-1&2t\\t+1&0&2t+2 \end{bmatrix}[/math]

Stabilire per quali valori reali di t la matrice è diagonalizzabile. Io ho trovato i 3 autovalori mantenendo il parametro t che sono :

[math]\lambda1=0 ;
\lambda2=-1 ;
\lambda3=2(2+t)[/math]

Ora però non so come determinare i valori di t cercati. Qualcuno potrebbe darmi una mano?? Grazie a tutti in anticipo.

Aggiunto 22 ore 42 minuti più tardi:

GRAZIE MILLE!!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29255 Punti
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Dunque, è tutta questione di capire come sono fatti gli autospazi. Ricorda che, condizione necessaria e sefficiente affinché una matrice sia diagonalizzabile è che, detti
[math]\lambda_i[/math]
gli autovalori,
[math]a_i[/math]
le loro molteplicità algebriche e
[math]n_i[/math]
le dimnsioni degli autospazi
[math]E_{\lambda_i}[/math]
si abbia
[math]a_i=n_i[/math]
.
Ora, il sistema per determinare l'autospazio
[math]E_0[/math]
è
[math]\left\{\begin{array}{l}
2x+4z=0\\ (t+1)x-y+2tz=0\\ (t+1)x+2(t+1)z=0
\end{array}\right.[/math]

la cui soluzione è (per ogni t)
[math](-2z,-2z,z)[/math]
(ti prego di fare il calcolo per convincertene). Allora
[math]\dim E_0=1[/math]
(dipende da un solo parametro).
Il sistema per determinare l'autospazio
[math]E_{-1}[/math]
è
[math]\left\{\begin{array}{l}
3x+4z=0 \\ (t+1)x+2tz=0 \\ (t+1)x+2(t+1) z=0
\end{array}\right.[/math]

la cui soluzione è (per ogni t)
[math](0,y,0)[/math]
. Allora
[math]\dim E_{-1}=1[/math]
(dipende da un solo parametro).
Ora analizziamo cosa accade all'ultimo autovalore. Se esso è diverso dagli altri due, cioè se

[math]2(t+2)\neq 0,\qquad 2(t+2)\neq -1\ \Rightarrow\ t\neq -2,\ t\neq -\frac{5}{2}[/math]

allora il sistema per determinare l'autospazio
[math]E_{2(t+2)}[/math]
è
[math]\left\{\begin{array}{l}
2(-1-t)x+4z=0\\ (t+1)x-(5+2t)y+2tz=0\\ (t+1)x-2z=0
\end{array}\right.[/math]

che si riduce a

[math]\left\{\begin{array}{l}
2(t+1)z=(5+2t)y\\ (t+1)x=2z
\end{array}\right.[/math]

Ora, se abbiamo anche
[math]t\neq -1[/math]
(osserva che per ipotesi già è
[math]t\neq-5/2[/math]
) otteniamo la soluzione
[math]\left(\frac{2}{t+1}\cdot z,\ \frac{2(t+1)}{5+2t}\cdot z,\ z\right)[/math]

e quindi in tal caso anche
[math]\dim E_{2(t+2)}=1[/math]
.
Se invece
[math]t=-1[/math]
allora il sistema diventa
[math]\left\{\begin{array}{l}
0=3y\\ 0=z
\end{array}\right.[/math]

e la soluzione è
[math](x,0,0)[/math]
e quindi ancora l'autospazio
[math]E_{2}[/math]
(ottenuto scegliendo t=-1) ha dimensione 1, e quindi la matrice è diagonalizzabile.
Se scelgo
[math]t=-2[/math]
l'autovalore
[math]0[/math]
ha molteplicità doppia. In tal caso il sistema per determinare
[math]E_0[/math]
risulta
[math]\left\{\begin{array}{l}
2x+4z=0\\ -x-y-4z=0\\ -x-2z=0
\end{array}\right.[/math]

la cui soluzione è
[math](-2z,-2z,z)[/math]
e quindi
[math]\dim E_0=1\neq 2[/math]
per cui la matrice non è diagonalizzabile.
Se infine scelgo
[math]t=-5/2[/math]
l'autovalore
[math]-1[/math]
ha molteplicità doppia. In tal caso il sistema per determinare
[math]E_{-1}[/math]
risulta
[math]\left\{\begin{array}{l}
3x+4z=0\\ -3x-10z=0\\ -3x-6z=0
\end{array}\right.[/math]

la cui soluzione è
[math](0,y,0)[/math]
e quindi
[math]\dim E_{-1}=1\neq 2[/math]
per cui la matrice non è diagonalizzabile.
Riassumendo la matrice risulta diagonalizzabile per ogni
[math]t\neq-2,\ t\neq-5/2[/math]
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