mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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Ciao :hi ho un problema nello sviluppare in serie di fourier questa funzione:

[math]f(x)=\pi^4-x^4[/math]
[math] \ |x|\leq\pi\\[/math]

un grazie in anticipo. :thx
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Le quattro integrazioni per parti purtroppo non ce le toglie nessuno!!

In ogni modo, dato che
[math]\small n \in \mathbb{N}[/math]
allora certamente
[math]\small \sin(n\,\pi) = 0[/math]
: ergo, ogni
volta che ne "incontriamo" uno lo "cestiniamo" subito per snellire i calcoli.

Dunque, si ha:
[math]\small \begin{aligned}
a_n

& = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \left(\pi^4 - x^4\right)\cos(n\,x)\,\text{d}x \\

& = \frac{1}{\pi}\left[\left(\pi^4 - x^4\right)\frac{\sin(n\,x)}{n}\right]_{x = -\pi}^{x = \pi} + \frac{4}{n\,\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^3\,\sin(n\,x)\,\text{d}x \\

& = 0 + \frac{4}{n\,\pi}\left[- x^3\,\frac{\cos(n\,x)}{n}\right]_{x = -\pi}^{x = \pi} + \frac{12}{n^2\,\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^2\,\cos(n\,x)\,\text{d}x \\

& = - \frac{8\,\pi^2}{n^2}\cos(n\,\pi) + \frac{12}{n^2\,\pi}\left[ x^2\,\frac{\sin(n\,x)}{n}\right]_{x = -\pi}^{x = \pi} - \frac{24}{n^3\,\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} x\,\sin(n\,x)\,\text{d}x \\

& = - \frac{8\,\pi^2}{n^2}\cos(n\,\pi) + 0 - \frac{24}{n^3\,\pi}\left[ - x\,\frac{\cos(n\,x)}{n}\right]_{x = -\pi}^{x = \pi} - \frac{24}{n^4\,\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos(n\,x)\,\text{d}x \\

& = \frac{8\left(6 - n^2\,\pi^2\right)}{n^4}\cos(n\,\pi) - \frac{24}{n^4\,\pi}\left[ \frac{\sin(n\,x)}{n}\right]_{x = -\pi}^{x = \pi}\\

& = \frac{8\left(6 - n^2\,\pi^2\right)}{n^4}\cos(n\,\pi) - 0

\end{aligned}\\[/math]
e dal momento che se
[math]n[/math]
è pari
[math]\cos(n\,\pi) = 1[/math]
, mentre se
[math]n[/math]
è
dispari
[math]\cos(n\,\pi) = - 1[/math]
ne consegue la soluzione di cui sopra. ;)
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := \pi^4 - x^4 \; \; \; \text{per} \; x \in [-\pi,\,\pi]\\[/math]
essendo una funzione periodica di periodo
[math]2\pi[/math]
, integrabile in
[math][-\pi,\,\pi][/math]
, possiamo associare ad
[math]f[/math]
la sua serie di Fourier:
[math]\begin{aligned}f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty}\left(a_n\,\cos(n\,x) + b_n\,\sin(n\,x)\right) \; .\end{aligned}\\[/math]
Essendo
[math]f \in C^2([-\pi,\,\pi])[/math]
,
[math]f(-\pi) = f(\pi)[/math]
ed
[math]f'(-\pi) \ne f'(\pi)[/math]
,
la serie di Fourier di
[math]f[/math]
converge a
[math]\pi^4 - x^4[/math]
in tutto
[math][-\pi,\,\pi][/math]
e si può
derivare termine a termine in tutto
[math](-\pi,\,\pi)\\[/math]
.
Come noto, i coefficienti
[math]a_n,\,b_n[/math]
sono definiti dalle
formule (per
[math]n \ge 0[/math]
ed
[math]n \ge 1\\[/math]
rispettivamente):
[math]a_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\,\cos(n\,x)\,\text{d}x\,, \; \; \; b_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\,\sin(n\,x)\,\text{d}x\,.\\[/math]
Dato che nello specifico
[math]f[/math]
è pari si ha
[math]b_n = 0[/math]
per ogni
[math]n \ge 1\\[/math]
, mentre
[math]\begin{aligned}
& a_0 = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \left(\pi^4 - x^4\right)\,\text{d}x = \frac{8}{5}\pi^4 \; ; \\
& a_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \left(\pi^4 - x^4\right)\,\cos(n\,\pi)\,\text{d}x = \begin{cases} \frac{8\,\left(6 - n^2\,\pi^2\right)}{n^4} & \; \text{se n è pari} \; ; \\ \frac{8\,\left(n^2\,\pi^2 - 6\right)}{n^4} & \; \text{se n è dispari} \; . \end{cases}\\
\end{aligned}[/math]

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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grazie, però non mi è tanto chiaro il calcolo del coefficiente
[math]a_n[/math]
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Come è consuetudine in questo forum, scrivi i tuoi passaggi,
le tue idee al riguardo, che poi ne discutiamo assieme. ;)
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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Allora ho:

[math]a_{n}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (\pi^{4}-x^{4})cos(nx)\ dx \\[/math]

adesso moltiplico e sfrutto la linearità dell'integrale ottendo:

[math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \pi^{4}cos(nx)\ dx- \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{4}cos(nx)\ dx[/math]


il primo integrale:

[math]\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \pi^{4}cos(nx)\ dx= \pi^{3}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)\ dx = \pi^{3}[\frac{sen(\pi n)}{n}-\frac{sen(-\pi n)}{n}]=0[/math]


per il secondo ho:

[math]\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{4}cos(nx)\ dx=\ ???[/math]


per risolverlo devo integrare 4 volte per parti??? :cry
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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grazie :thx
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