kimy
kimy - Habilis - 154 Punti
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ciao a tutti qualcuno mi può dare una mano su questo esercizio e dirmi come si procede nello svolgimento o anche dove posso trovare materiale su questo argomento,anche vecchie discussioni. grazie tante

Si consideri la funzione
[math]f: R \to R^2[/math]
definita da
[math]f(x,y) = xy + 1[/math]
.
1. Stabilire se
[math]f[/math]
é iniettiva, surgettiva, biunivoca.
2. Trovare, se esiste, una funzione
[math]g : R \to R^2[/math]
tale che
[math]f(g(u)) = u [/math]
per ogni
[math]u \in R[/math]
, oppure dimostrare che una tale funzione non esiste.
3. Trovare, se esiste, una funzione
[math]h : R \to R^2[/math]
tale che
[math]h(f(u)) = u [/math]
per ogni
[math]u \in R[/math]
, oppure dimostrare che una tale funzione non esiste.
Aggiunto 18 ore 41 minuti più tardi:

si scusa ho fatto un errore, è come dici tu.

per il primo punto è corretta?

non è iniettiva (quindi non biunivoca)perché ad ogni elemento del codominio corrisponde più di un elemento distinto del codominio
è surgettiva perché tutti gli elementi del codominio sono raggiunti da almeno un elemento del dominio

es: dimostrazione non iniettività

f(0,0) = 1
f(0,1) = 1

Aggiunto 3 ore 12 minuti più tardi:

ok grazie del chiarimento, ma nel 3° punto h°g:
[math] \mathbb{R}^2 \right \mathbb{R} \right \mathbb{R}^2 [/math]
?
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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Non mi torna la definizione della funzione
[math]f[/math]
. Se è quella che hai scritto, allora deve essere
[math]f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}[/math]
.
Aggiunto 2 ore 20 minuti più tardi:

Ok per la non iniettività. In generale per questo caso la puoi dimostrare così: se cerchi due punti
[math](x,y)\neq (a,b)[/math]
in cui
[math]f(x,y)=f(a,b)[/math]
ricavi
[math]xy+1=ab+1\ \Rightarrow\ xy=ab[/math]

e questo vuol dire che puoi prendere tutti i punti di una iperbole fissata e ottenere sempre lo stesso valore per la funzione. Per la suriettività, hai che per ogni numero reale k si ha

[math]xy+1=k\ \Rightarrow\ xy=1-k[/math]

e quindi tutti i punti di quell'iperbole ti danno il valore k, e quindi la funzione è suriettiva. Ovviamente la funzione non è biunivoca.

Ora, per la prima richiesta tu vuoi una composizione del tipo

[math]f\circ g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math]

con
[math]f\circ g=id_{\mathbb{R}}[/math]
(la funzione identica). Questo vuol dire che se
[math]g(u)=(x(u),y(u))[/math]
allora devi avere
[math]x(u)\cdot y(u)+1=u[/math]

e quindi

[math]y(u)=\frac{u-1}{x(u)}[/math]

Scelta allora una qualsiasi funzione
[math]x(u)[/math]
di 1 variabile reale, la funzione g cercata è
[math]g(u)=\left(x(u),\frac{u-1}{x(u)}\right)[/math]
.
L'altra funzione, invece, non esiste: infatti f dipende da 2 variabili, mentre nella richiesta al punto 3 si suppone essa dipenda solo da una.
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