newton
newton - Ominide - 20 Punti
Salva
Determinare l'estremo inferiore e l'estremo superiore dell'insieme numerico

A= {(1/2+cosnpi)^n n appartenente all'insieme dei numeri naturali

Aggiunto 22 ore 32 minuti più tardi:

Mi aiutereste per favore a svolgere questo esercizio? Vi ringrazio anticipatamente.
ciampax
ciampax - Tutor - 29255 Punti
Salva
Basta considerare la forma dei termini generali. Per prima cosa poniamo

[math]a_n=\left(\frac{1}{2}+\cos(n\pi)\right)^n[/math]

Osserva ora che, se
[math]n=2m[/math]
è pari allora
[math]\cos(n\pi)=\cos(2m\pi)=\cos(2\pi)=1[/math]

mentre se
[math]n=2m+1[/math]
è dispari allora
[math]\cos(n\pi)=\cos(2m\pi+\pi)=\cos(\pi)=-1[/math]

per cui
[math]\cos(n\pi)=(-1)^n[/math]
. Si ha allora
[math]a_{2m}=\left(\frac{1}{2}+\cos(2m\pi)\right)^{2m}=
\left(\frac{1}{2}+1\right)^{2m}=\left(\frac{9}{4}\right)^m[/math]

mentre

[math]a_{2m+1}=\left(\frac{1}{2}+\cos(2m\pi+\pi)\right)^{2m+1}=
\left(\frac{1}{2}-1\right)^{2m+1}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2m+1}=-\frac{1}{2\cdot 4^m}[/math]

La successione
[math]a_{2n}[/math]
risulta positiva, crescente, divergente a infinito e di primo termine 9/4. La successione
[math]a_{2n+1}[/math]
risulta negativa, crescente, convergente a zero e di primo termine
[math]-1/2[/math]
. Ne segue che
[math]\inf(a_n)=\min(a_n)=-\frac{1}{2},\qquad \sup(a_n)=+\infty[/math]
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa

Lascia un messaggio ai conduttori Vai alla pagina TV

In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di settembre
Vincitori di settembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

Daniele

Daniele Blogger 27769 Punti

VIP
Registrati via email