fedspa95
fedspa95 - Ominide - 2 Punti
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in R^2 per ogni x,per p >1 si ha lim(p->+inf)(val.assol(x)^p+val.assol.(y)^p)^(1/p)= sup( val assol di x,val assol di y) perchè?
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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E’ un caso particolare del seguente fatto: se
[math]x_1, x_2, \ldots, x_n[/math]
sono numeri reali non negativi, allora
[math]\lim_{p \to \infty}(x_1^p + x_2^p + \ldots + x_n^p)^{1/p} = \max\{x_1, x_2, \ldots, x_n \} [/math]

Dimostrazione. Supponiamo
[math]\max\{x_1, x_2, \ldots, x_n \} = x_k[/math]
. Allora, per ogni
[math]p \ge 1[/math]

[math]x_k^p \le x_1^p + x_2^p + \ldots + x_n^p \le nx_k^p[/math]

[math]x_k \le (x_1^p + x_2^p + \ldots + x_n^p)^{1/p} \le n^{1/p}x_k[/math]

La tesi segue ora dal teorema del confronto dei limiti, osservando che
[math]n^{1/p} \to 1[/math]
per
[math]p \to \infty[/math]
.
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