miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Sono alle prese con l esame di algebra lineare e non riesco a risolvere questo esercizio:

Determinare la dimensione ed una base del sottospazio
vettoriale
V = {(x, y, z ) ∈ R | x − 2y + z = 0, x + y = 0}.

L esercizio dovrebbe essere piuttosto semplice credo, ma essendo all inizio non so come risolverlo. Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie a tutti in anticipo.
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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In questi casi, devi semplicemente andare a risolvere il sistema delle equazioni che definiscono lo spazio. Infatti, come tu stesso hai scritto, i vettori di V sono le terne di valori x,y,z soddisfacenti entrambe le equazioni. ne segue che

[math]x-2y+z=0,\qquad x+y=0\ \Rightarrow\ x=-y,\ -3y+z=0[/math]

e quindi
[math](-y,y,3y)[/math]
è un generico vettore di V. A questo punto, per ottenere una base, basta scegliere un valore per y (ad esempio y=1) e quindi
[math]\{(-1,1,3)\}[/math]

è una base di V. Ovviamente la dimensione di V è pari a 1 (i vettori dipendono tutti da un solo parametro, y).
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