Sara*9
Sara*9 - Ominide - 2 Punti
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Siano dati i punti O = t(0; 0), A = t(1; 0), B = t(0; 1), C = t(h; k) con h; k
parametri reali diversi da 1. Determinare:
a) il punto D intersezione della retta per O e A e della retta per B e C;
b) il punto E intersezione della retta per O e B e della retta per A e C.
Detti P; Q;R i punti medi rispettivamente dei segmenti DE;AB;OC, vericare che P; Q;R
sono allineati per ogni valore reale di h; k 6= 1.
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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a) possiamo scrivere le equazioni parametriche delle rette passanti per due punti. In generale se i punti sono
[math]P_1(x_1,y_1),\ P_2(x_2,y_2)[/math]
, essendo
[math]v=P_2-P_1=(x_2-x_1,y_2-y_1)=(\alpha,\beta)[/math]
il vettore direzione della retta, si ha l'equazione parametrica
[math]x=x_1+\alpha t,\qquad y=y_1+\beta t,\qquad t\in\mathbb{R}[/math]

Nel nostro caso le due rette sono

[math]AO:\ x=t,\quad y=0\\ BC:\ x=h s,\quad y=1+(k-1) s[/math]

Per determinare l'intersezione si risolve il sistema

[math]t=h s,\quad 0=1+(k-1) s[/math]

Dalla seconda osserviamo che deve essere
[math]k\not= 1[/math]
altrimenti il sistema risulta indeterminato: allora si ha
[math]s=\frac{1}{1-k},\ t=\frac{h}{1-k}[/math]
e pertanto il punto cercato è
[math]D\left(\frac{h}{1-k},0\right)[/math]


b) Come prima, le equazioni parametriche risultano

[math]OB:\ x=0,\quad y=t\\ AC:\ x=1+(h-1)s,\quad y=k s[/math]

e pertanto dobbiamo risolvere il sistema

[math]0=1+(h-1)s,\qquad t=ks[/math]

Come prima, bisogna escludere il caso
[math]h=1[/math]
che rende incompatibile il sistema: segue che per
[math]h\not= 1[/math]
si ha
[math]s=\frac{1}{1-h},\ t=\frac{k}{1-h}[/math]
e quindi le coordinate del punto
[math]E\left(0,\frac{k}{1-h}\right)[/math]


Calcoliamo ora i punti medi: per ricavarli, basta fare la media delle coordinate omologhe dei punti. Pertanto:

[math]P:\ x_P=\frac{\frac{h}{1-k}+0}{2}=\frac{h}{2(1-k)},\quad y_P=\frac{0+\frac{k}{1-h}}{2}=\frac{k}{2(1-h)}\\ Q:\ x_Q=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2},\quad y_Q=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\\ R:\ x_R=\frac{0+h}{2}=\frac{h}{2},\quad y_R=\frac{0+k}{2}=\frac{k}{2}[/math]

Al fine di determinare se i punti sono allineati basta ragionare come segue: se lo sono, allora esiste una retta
[math]ax+by+c=0[/math]
la cui equazione è soddisfatta da tutte e tre le coppie di punti. Quindi si avrebbe il sistema
[math]ax_P+by_P+c=0\quad ax_Q+by_Q+c=0\quad ax_R+by_R+c=0[/math]

I coefficienti
[math]a,b,c[/math]
si ricavano, allora, risolvendo il sistema
[math]\left(\begin{array}{ccc}
x_P & y_P & 1\\ x_Q & y_Q & 1\\ x_R & y_R & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
a \\ b \\ c
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\ 0 \\ 0
\end{array}\right)[/math]

il quale, per il teorema di Cramer, ammette soluzione non banale se e solo se il determinante della matrice del sistema vale zero. Basta allora calcolare tale determinante per risolvere la questione (ricordando che
[math]h,k\not= 1[/math]
).
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