GoblinBis
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Salve ragazzi :hi Volevo chiedervi un aiuto per risolvere questi 6 esercizi di Matematica Discreta:

1) Sia S = {1,2,3,4,5,c,f,d} Scrivere due esempi di partizioni di S. Scrivere due insiemi di parti di S che non sono partizioni di S

2) Trovare coppie di elementi che si corrispondono e coppie di elementi che non si corrispondono nella relazione
[math]R_{2}[/math]
= (
[math]N_{0}[/math]
X
[math]N_{0}[/math]
,
[math]G_{2}[/math]
) , dove
[math]G_{2}[/math]
= {(x,y)
[math]\epsilon[/math]
[math]N_{0}[/math]
X
[math]N_{0}[/math]
:
[math]x^{2}[/math]
= y}

3) Sia ∑ l'insieme costituito dalle rette del piano cartesiano, e siano le relazioni binarie definite come segue:
- x
[math]\Re_{1}[/math]
y se e solo se r ed s sono perpendicolari.
- x
[math]\Re_{2}[/math]
y se e solo se r ed s sono parallele.
- x
[math]\Re_{3}[/math]
y se e solo se r ed s sono incidenti.
Verificare che la relazione
[math]\Re_{2}[/math]
è di equivalenza. Cosa possiamo dire delle altre due relazioni?

4) Sia G = {(3,2),(2,3),(2,5),(3,7),(9,9)}, e
[math]I_{10}[/math]
l'insieme dei primi 10 numeri naturali positivi. E' possibile completare l'insieme G in modo tale che
[math]\Re[/math]
= (
[math]I_{10}[/math]
X
[math]I_{10}[/math]
, G) sia una relazione di ordine largo?

5) Sia f:x
[math]\epsilon[/math]
R -->
[math]x^{3}[/math]
+
[math]6x^{2}[/math]
+ 12x + 89
[math]\epsilon[/math]
R
(a) Stabilire se f è iniettiva.
(b) Stabilire se f è suriettiva.
(c) Stabilire se f è biettiva.

6) Sia f:S --> t un'applicazione iniettiva. Verificare che S è equipotente ad f(S).

Grazie mille in anticipo :)
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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1) basta applicare la definizione: una partizione è un insieme di insiemi tali che non hanno elementi comuni e che, presi tutti, ridanno l'insieme di partenza.

2) Per trovare le coppie che ti servono, basta fissare di volta in volta un
[math]x\in\mathbb{N}_0[/math]
e calcolare
[math]x^2=y[/math]
per trovare l'altro elemento.

3) conosci la definizione di relazione di equivalenza? Cosa devi verificare che valga?

4) Una relazione d'ordine largo è, ad esempio,
[math]\le[/math]
. Nell'insieme costruito ti pare che sia sempre vero che per ogni coppia
[math](a,b)[/math]
si abbia
[math]a\le b[/math]
? Oppure si abbia sempre
[math]a\ge b[/math]
?

5) Se
[math]f[/math]
è iniettiva, allora dall'essere
[math]f(x_1)=f(x_2)[/math]
segue che
[math]x_1=x_2[/math]
. Prova a risolvere l'equazione
[math]x_1^3+6x_1^2+12x_1+89=x_2^3+6x_2^2+12x_2+89[/math]
e verifica se questa cosa è vera. Per la suriettività, invece, chiediti se, fissato
[math]y\in\mathbb{R}[/math]
esiste sempre almeno un
[math]x\in\mathbb{R}[/math]
tale che
[math]f(x)=y[/math]
.

6) se consideri la funzione come
[math]f:S\rightarrow f(S)\subset T[/math]
, piuttosto che su tutto T, allora essa è iniettiva ed è pure suriettiva. Quindi...
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Ciao Ciampax, grazie per avermi risposto :)

Riguardo l'esercizio 3... una relazione d'equivalenza è una relazione binaria (riflessiva, simmetrica e transitiva).
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