helene.96
helene.96 - Erectus - 78 Punti
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Salve a tutti,
vorrei qualche chiarimento riguardo gli omomorfismi di gruppi e in particolare vorrei sapere il seguente ragionamento sia corretto.
L'esercizio completo è questo:
Determinare per quali valori del parametro λ, con 0 ≤ λ ≤ 5 il seguente
sistema di congruenze `e risolubile:

3X ≡ λ (mod 6)
4X ≡ 3 (mod 13)
4X ≡ 2 (mod 11) .

Risolto. E' risolubile per gamma=3 e 0





Sia f : Z → (Z/6Z) × (Z/13Z) × (Z/11Z) l’applicazione definita ponendo
f(x) := ([x]6, [x]13, [x]11), al variare di x ∈ Z .
Stabilire se f : Z → (Z/6Z) × (Z/13Z) × (Z/11Z) `e un omomorfismo
dall’anello (Z, +, ·) all’anello ((Z/6Z) × (Z/13Z) × (Z/11Z), +, ·) (quest’ultimo
con le operazioni di somma e prodotto definite “componente
per componente”).



Per verificare che sia un omomorfismo di anelli mi basta verificare che a= (z,+)-->b= ((z/6z)x(z/13z)x(z/11z),+) sia un omomorfismo di gruppi, ma come?

è possibile che debba verificare che...?
1.f(x)=x' dove x è l'elemento neutro di a e x' è l'elemento neutro di b
2.f(y')=f(y)' dove y' è l'inverso di a e f(y)' è l'inverso di f(y) in a

se così fosse come trovo il neutro e l'inverso in b?


Altro esercizio:
Sia L un intero fissato, L diverso da 0. In Z si consideri la seguente
operazione ? (dipendente da L) cos`ı definita:
a ? b := a + b − L presi comunque a, b ∈ Z .

Stabilire se l’applicazione ϕ : (Z, +) → (Z, ?), definita da
ϕ(a) := a(1 + L) + (1 − a)L, per ogni a ∈ Z,
`e oppure non `e un omomorfismo di gruppi.
Stabilire se ϕ : (Z, +) → (Z, ?) `e oppure non `e un isomorfismo di gruppi.


Passaggio per passaggio cosa devo dimostrare per stabilire se una data applicazione è o non è un omomorfismo o isomorfismo?

Grazie a tutti :D
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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Esercizio 1: OK

Esercizio 2.
In generale, se α : R → A, β : R → B sono due omomorfismi di anelli, allora η : R → A×B definita da η(x) = (α(x), β(x)) è un omomorfismo di anelli; per induzione, questo vale anche per più di due anelli.
Se vuoi verificare direttamente che la tua f è un omomorfismo di anelli (unitari) allora devi far vedere che, per ogni x, y in Z, vale
1) f(x + y) = f(x) + f(y)
2) f(x*y) = f(x)*f(y)
3) f(1) = unità di (Z/6Z) × (Z/13Z) × (Z/11Z)
ovvero
1) ([x+y]6, [x+y]13, [x+y]11) = ([x]6, [x]13, [x]11) + ([y]6, [y]13, [y]11)
2) ([x*y]6, [x*y]13, [x*y]11) = ([x]6, [x]13, [x]11) * ([y]6, [y]13, [y]11)
3) ([1]6, [1]13, [1]11) è l’unità (Z/6Z) × (Z/13Z) × (Z/11Z)

Esercizio 3.
Prima di tutto devi stabilire se (Z, ?) è un gruppo.
1) ? è associativa perché, per ogni a, b, c in Z
a ? (b ? c) = (a ? b) ? c = a + b + c – 2L
2) ? ammette elemento neutro, ed è L perché per ogni a in Z
a ? L = L ? a = a
3) ogni elemento a di Z ammette un inverso rispetto ad ?, ed è 2L–a, perché
a ? (2L–a) = (2L–a) ? a = L
Ora devi verificare se ϕ : (Z, +) → (Z, ?) è un omomorfismo di gruppi, cioè se soddisfa
4) ϕ(a+b) = ϕ(a) ? ϕ(b)
per ogni a, b in Z.
Nota che ϕ(a) = a + L, dunque 4) equivale a
4) (a+b) + L = (a + L) + (b + L) – L
che è vera per ogni a, b in Z, quindi ϕ è un omomorfismo di gruppi.
Infine devi verificare se l’omomorfismo ϕ è un isomorfismo, cioè se è bigettivo, il che è vero.
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