Benz
Benz - Erectus - 77 Punti
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Salve, ho iniziato a preparare l'esame di Analisi 2, purtroppo il professore non ci fornisce le correzioni svolte dei compiti passati, e avrei bisogno di capire gli svolgimenti di alcuni esercizi. I primi due sono simili, e non avrei problemi a svolgere l'integrale doppio, però non so come impostarlo, lo stesso per il terzo che servirà un integrale triplo. Per quanto riguarda gli ultimi 3 esercizi proprio non riesco a partire.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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1-2) Data una superficie
[math]\Sigma[/math]
di equazione vettoriale
[math](x,\,y,\,z)=\vec{r}(u,\,v)[/math]
per
[math](u,\,v)\in A \subset \mathbb{R}^2\\[/math]
, la propria area è data dal seguente integrale superficiale:
[math]\left|\Sigma\right| = \iint\limits_{\Sigma} 1\,d\sigma := \iint\limits_A \left|\vec{r}_u(u,\,v) \land \vec{r}_v(u,\,v)\right|\,du\,dv = \dots\\[/math]


3) Dato un solido
[math]\small \Omega := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : (x,\,y) \in T, \; f_1(x,\,y) \le z \le f_2(x,\,y) \right\}[/math]
,
dove
[math]T\subset \mathbb{R}^2[/math]
, il volume di
[math]\Omega\\[/math]
è dato dal seguente integrale triplo:
[math]\left|\Omega\right| = \iiint\limits_{\Omega} 1\,d\omega := \iint\limits_T \left( \int_{f_1}^{f_2} 1\,dz \right)\,dx\,dy = \dots\\[/math]


4) Data un curva di sostegno
[math]\gamma[/math]
e di equazione vettoriale
[math]\small(x,\,y,\,z) = \vec{r}(t)[/math]
,
per
[math]\small t\in [a,\,b] \subset \mathbb{R}\\[/math]
, la propria lunghezza è data dal seguente integrale di linea:
[math]\left|\gamma\right|=\int\limits_{\gamma} 1\,ds := \int_a^b \left|\vec{r}\,'(t)\right|\,dt = \dots\\[/math]

Dunque, le coordinate
[math]\bar{x}_i[/math]
(per
[math]i=1,2,3[/math]
) del baricentro
[math]G[/math]
di
[math]\gamma\\[/math]
sono:
[math]\bar{x}_i = \frac{1}{\left|\gamma\right|}\int\limits_{\gamma}x_i\,ds := \frac{1}{\left|\gamma\right|}\int_a^b x_i(t)\,\left|\vec{r}\,'(t)\right|\,dt = \dots\\[/math]

dove si è supposto che la densità di
[math]\gamma[/math]
sia costante.


5) Il lavoro di un campo vettoriale
[math]\vec{F} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3[/math]
lungo una curva di sostegno
[math]\gamma[/math]
e di equazione vettoriale
[math]\small(x,\,y,\,z) = \vec{r}(t)[/math]
per
[math]\small t\in [a,\,b] \subset \mathbb{R}[/math]
è dato dal
seguente integrale di linea:

[math]ℒ_{\gamma}\left(\vec{F}\right) = \int\limits_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{s} := \int_a^b \vec{F}\left(\vec{r}(t)\right)\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt = \dots\\[/math]


6) Il flusso di un campo vettoriale
[math]\vec{F} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3[/math]
attraverso una superficie
[math]\Sigma[/math]
di equazione vettoriale
[math](x,\,y,\,z)=\vec{r}(u,\,v)[/math]
, per
[math](u,\,v)\in A \subset \mathbb{R}^2[/math]
,
è dato da un "particolare" integrale di superficie:

[math]\small \Phi_{\Sigma}\left(\vec{F}\right) = \iint\limits_{\Sigma} \vec{F}\cdot\hat{n}_{\Sigma}\,d\sigma := \iint\limits_A \vec{F}\left(\vec{r}(u,\,v)\right)\cdot \underbrace{\left(\vec{r}_u(u,\,v)\land \vec{r}_v(u,\,v)\right)}_{con\,3°\,comp.\,non\,negativa}\,du\,dv = \dots\\[/math]

dove il verso della normale è dettato dal problema.


Queste sono le varie definizioni a cui dovrai fare senz'altro riferimento per risolvere
agilmente quegli esercizi. Qualora riscontrassi difficoltà nei conti mostra pure i tuoi
passaggi che poi ne discutiamo assieme. ;)
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