Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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1).
[math] \liminf \frac{n+1}{n+2}\cos{n\frac{\pi}{4}}[/math]
Anche lim sup.

2). Come ha fatto il mio professore a fare questo passaggio?
[math]\(1+\frac{1}{n}\)^n<e<\(1+\frac{1}{n}\)^{n+1} \rightarrow\frac{1}{n+1}<\log{\frac{n}{n+1}}<\frac{1}{n}[/math]

Aggiunto 10 minuti più tardi:

1). Il coseno di quella formula può essere AL MINIMO -1. Quindi pensavo che
[math]\liminf\frac{n+1}{n+2} \cos{n\frac{\pi}{4}}=\lim-\frac{n+1}{n-2} = -1[/math]

Aggiunto 14 minuti più tardi:

Analogamente col limsup troverei che è 1

2). Non ho idea

Aggiunto 1 ore 26 minuti più tardi:

La 2 L'ho capita. Quanto alla 1, il procedimento che ho usato io è corretto?
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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In linea di massima, quando cerchi lim inf e lim sup puoi sempre cercare di trovare delle disuguaglianze per le funzioni che stai considerando e da quelle dedurre cosa accade. In questo caso, poiché

[math]a_n=\frac{n+1}{n+2}\ \cos\frac{n\pi}{4}[/math]
e si ha
[math]|a_n|<\frac{n+1}{n+2}=\frac{n+2-1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}[/math]

allora risulta pure
[math]-1+\frac{1}{n+2}<a_n<1-\frac{1}{n+2}[/math]

e dal momento che la successione
[math]\frac{1}{n+2}\to 0[/math]
hai che
[math]\liminf a_n=-1,\qquad \limsup a_n=1[/math]
.

Per l'altra cosa io direi che ha fatto così:

[math]\left(1+\frac{1}[n}\right)^n<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}[/math]

[math]\left(\frac{n+1}{n}\right)^n<e<\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}[/math]

[math]n\ \log\left(\frac{n+1}{n}\right)<1<(n+1)\ \log\left(\frac{n+1}{n}\right)[/math]

e visto che il logaritmo è sicuramente positivo (l'argomento è maggiore di uno)
[math]n<\left[\log\left(\frac{n+1}{n}\right)\right]^{-1}<n+1[/math]

[math]\frac{1}{n+1}<\log\left(\frac{n+1}{n}\right)<\frac{1}{n}[/math]

Aggiunto 3 ore 4 minuti più tardi:

Newton, se da solo non capisci che il procedimento che hai usato tu è lo stesso che ho usato io, siamo a cavallo! :asd

Aggiunto 1 minuti più tardi:

In ogni caso, tu fai una dimostrazione più discorsiva (che potrebbe portarti in una situazione problematica). Io faccio una dimostrazione con un calcolo diretto (a cui nessuno può obiettare).

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