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R0bi - Ominide - 46 Punti
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Ho un compito di geometria1 non è che qualcuno potrebbe farmi vedere lo svolgimento degli esercizi?

1)
Sia data la forma bilineare simmetrica: φ(x,y)=x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 - x2y3 + x2y4 - x3y2 + x3y3 - x3y4 + x4y2 - x4y3 - x4y4
Determinare la segnatura di φ e la relativa rappresentazione canonica rispetto ad una base ortonormale.

2)
Si considerino i seguenti sottospazi di Mat2(C):
U={A∈Mat2(C)|X(con un trattino sopra)AX=2A, X=( 0 1-i )}
( 1+i 0 )
W=<( 1 i ), ( 1 -i), ( 0 2 )>.
( i -1) (-i 0 ) ( 2 i )
Determinare i C-sottospazi U∩W e U+W, la loro dimensione e una base di entrambi.
Dopo aver osservato che U e W sono altresì R-sottospazi di Mat2(C), determinare gli R-sottospazi U∩W e U+W.

3)
Sia U={A∈Mat2(R)|A=-Agg(A)} e sia f:U--->U l'endomorfismo cosi definito:
f(( a b )) = ( ka+c k(b+c) ).
( c -a) ( ka+c -(ka+c))
Determinare i valori del parametro k∈R per cui f è invertibile e determinare, negli altri casi, il nucleo e l'immagine di f.
Determinare per quali valori di k l'endomorfismo è diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzare f.

4)
Nello spazio affine reale di dimensione 4, A4(R), è data la retta r:(sistema){x1=λ; x2=0; x3=-λ; x4=1+λ e il punto Q(h,1,0,h), h∈R. Sia σ il piano generato da r e Q.
Inoltre sia S:(sistema){x1+x2-hx3-x4=0; (1-h)x2+x3+x4=h. Studiare la mutua posizione di σ e S al variare del parametro h e determinare, in ogni caso, S∩σ ed il sottospazio affine da essi generato.

5)
Nello spazio affine euclideo di dimensione 3, nel quale è fissato un riferimento ortonormale, determinare la sfera Σ tangente la retta t:(sistema){x=z-2; y=1 nel punto T(-1,1,1) e tale che il centro C appartenga all'asse z.
Dopo aver verificato che il piano α:x-z-1=0 è secante , trovare il centro e il raggio della circonferenza A=α∩Σ.
Si determini, infine,l'equazione cartesiana del cono avente vertice in C e come direttrice la circonferenza A.

Vi ringrazio anticipatamente per l'enorme aiuto che mi darete!

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