maschinada
maschinada - Erectus - 144 Punti
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rad(x^2+2x-2a-1)=x-a
trovare le soluzioni.

vorrei sapere in generale come si impostano questo genere d equazioni contenente anche a.

Grazie.
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Sostanzialmente sono equazioni parametriche. Per prima cosa, vanno imposte alcune condizioni affinché l'equazione sia risolubile.

Dal momento che la radice è positiva (è una radice di indice pari), il membro sinistro deve risultare positivo, per cui
[math]x-a\ge 0[/math]
, e quindi
[math]x\ge a[/math]
(osserva che qui non vanno poste condizioni sulla
[math]a[/math]
).

Perché invece abbia senso la radice, dobbiamo porre
[math](1)\qquad x^2+2x-2a-1\ge 0[/math]
.
Ora, il discriminante della equazione di secondo grado associata risulta pari a
[math]\Delta=4-4(-2a-1)=4+8a+4=8(a+1)[/math]

Qui va fatta allora una discussione sulle risoluzioni della disequazione.

1) se
[math]\Delta >0[/math]
e quindi se
[math]a> -1[/math]
, la disequazione (1) ammette le soluzioni
[math]x\le x_1,\quad x\ge x_2[/math]
, avendosi
[math]x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{8(a+1)}}{2}=-1\pm\sqrt{2(a+1)}[/math]

2) se
[math]\Delta =0[/math]
e quindi se
[math]a= -1[/math]
, la disequazione (1) ammette le soluzioni
[math]x\in\mathbb{R}[/math]

3)
[math]\Delta <0[/math]
e quindi se
[math]a< -1[/math]
, la disequazione (1) ammette le soluzioni
[math]x\in\mathbb{R}[/math]


Ne segue che, a seconda del valore di
[math]a[/math]
, dovremo "filtrare le soluzioni dell'equazione di partenza secondo quelle condizioni.

Andiamo ora a risolvere la prima equazione: elevando ambo i membri al quadrato (sotto la prima condizione scritta
[math]x\ge a[/math]
) si ottiene l'equazione
[math]x^2+2x-2a-1=x^2-2ax+a^2\ \Rightarrow\ 2(a+1)x=a^2+2a+1\\ \Rightarrow\ 2(a+1)x=(a+1)^2[/math]

A questo punto possiamo fare alcune discussioni sui coefficienti: nel caso in cui
[math]a=-1[/math]
questa equazione equivale a scrivere
[math]0x=0[/math]
che risulta indeterminata. Pertanto essa ammette infinite soluzioni, e tale risultato coincide con quanto detto nel caso 2) più sopra.

Se invece
[math]a\not= -1[/math]
, allora la soluzione unica della equazione risulta
[math]x=\frac{a+1}{2}[/math]
. Dobbiamo però verificare che tale soluzione risulti compatibile con le condizioni poste.

Abbiamo detto all'inizio che
[math]x\ge a[/math]
è necessario: è vero che
[math]\frac{a+1}{2}\ge a[/math]
? Risolvendo otteniamo che
[math]a\le 1[/math]
rende valida questa condizione, per cui dobbiamo restringere la scelta dei parametri a quelli per cui
[math]a\le 1, a\not=-1[/math]
. Ma questo basta? Non ancora!

Nel caso 1) sopra esposto, abbiamo visto che per
[math]a> -1[/math]
la
[math]x[/math]
deve soddisfare alcune condizioni:
[math]x\le -1-\sqrt{2(a+1)}[/math]
oppure
[math]x\ge -1+\sqrt{2(a+1)}[/math]
.
Vediamo se i valori delle
[math]a[/math]
che soddisfano tali condizioni rientrano nell'intervallo
[math]-1 < a < 1[/math]
. Abbiamo

[math]I)\qquad \frac{a+1}{2}\le -1-\sqrt{(a+1)}\ \Rightarrow\ 2\sqrt{2(a+1)}\le -a-3[/math]

ma tale condizione non è mai soddisfatta, in quanto se
[math]-1< a< 1[/math]
si ha che
[math]-4< -a-3< -2[/math]
e quindi avresti l'assurdo che una radice positiva debba risultare minore di un valore strettamente negativo.

[math]II)\qquad \frac{a+1}{2}\ge -1+\sqrt{(a+1)}\ \Rightarrow\ 2\sqrt{2(a+1)}\le a+3[/math]

e dal momento che questa volta il membro destro risulta sempre positivo (se
[math]-1< a< 1[/math]
si ha che
[math]2< a+3< 4[/math]
) possiamo riscrivere l'equazione come
[math]8(a+1)\le a^2+6a+9\ \Rightarrow\ a^2-2a+1\ge 0\ \Rightarrow\ (a-1)^2\ge 0[/math]

che risulta sempre verificata a prescindere della scelta di
[math]a[/math]

ne segue quindi che per
[math]-1 < a <1[/math]
si ha sempre la seconda condizione.

Se infine
[math]a<-1[/math]
abbiamo visto che qualsiasi soluzione
[math]x[/math]
soddisfa le condizioni di esistenza della radice.

Possiamo concludere, allora, che per ogni
[math]a<1,\ a\not= -1[/math]
l'equazione ammette la soluzione unica
[math]x=\frac{a+1}{2}[/math]
, mentre per
[math]a=-1[/math]
l'equazione ammette infinite soluzioni.

P.S.: spero sia chiaro perché bisogna passare da una cosa all'altra ogni volta. Se hai problemi, chiedi pure.
maschinada
maschinada - Erectus - 144 Punti
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Grazie mille per la risposta molto curata! ma non ho capito bene questo:

Andiamo ora a risolvere la prima equazione: elevando ambo i membri al quadrato (sotto la prima condizione scritta x≥a
) si ottiene l'equazione
x2+2x−2a−1=x2−2ax+a2 ⇒ 2(a+1)x=a2+2a+1⇒ 2(a+1)x=(a+1)2
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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L'equazione di partenza era
[math]\sqrt{A}=B[/math]
, per cui posso elevare al quadrato ambo i membri (una volta che ho imposto che
[math]B\ge 0[/math]
) e scrivere l'equazione equivalente
[math]A=B^2[/math]
maschinada
maschinada - Erectus - 144 Punti
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Un'ultima cosa, non ho capito bene questo passaggio:

a tale condizione non è mai soddisfatta, in quanto se −1<a<1
si ha che −4<−a−3<−2
e quindi avresti l'assurdo che una radice positiva debba risultare minore di un valore strettamente negativo.
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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se
[math]-1 < a < 1[/math]
aggiungendo
[math]-3[/math]
a tutti i termini viene fuori la seconda condizione. Ma visto che la disequazione che abbiamo ottenuto è
[math]2\sqrt{2(a+1)} < a-3[/math]
avresti che la radice, a sinistra, che è positiva dovrebbe essere minore di un valore che risulta sempre negativo, perché compreso tra -4 e -2
maschinada
maschinada - Erectus - 144 Punti
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Grazie mille, ti ho scritto in privato per la domanda che mi hai scritto nell altro post
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