dribusen
dribusen - Habilis - 175 Punti
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allora ragazzi ho bisogno del vostro aiuto...
il problema è questo:
sono dati i vettori
[math](-1; 2; 1)^t[/math]
e
[math](3; 4; 3)^t[/math]
devo verificare che appartengono al piano di equazione :
[math]2x-5y+z+11=0[/math]
e ci appartengono.
poi determina equazione cartesiana di r asse di AC ( i due punti) nel piano dato.
allora io ho provato a calcolare la retta passante per quei due punti e mi esce
s:{
[math]2y-2z+6=0[/math]
e
[math]2x+2-4z+4=0[/math]
.
quello che ho pensato io è prendere un vettore perpendicolare a s e farlo passare per il punto medio dei due punti...pero dopo trovo una retta perpendicolare ad AC ma non so se appartiene al piano..come devo fare? grazie a tutti:)
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Allora, l'idea è giusta. Tuttavia devi lavorarci in maniera lievemente differente.
Parti dalla retta passante per i due punti e determina il punto medio del segmento AC. A questo punto puoi determinare un piano passante per tale punto medio e perpendicolare alla retta data (dovresti sapere come si fa).

Fatto questo, al fine di trovare una retta con le dovute caratteristiche, ti basterà intersecare i due piani per ottenere la retta cercata.
dribusen
dribusen - Habilis - 175 Punti
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hmm ok il procedimento lo capito...i conti lo fatti, se sono giusti non lo so cmq un'ultima cosa. adesso a me viene fuori il sistema con i due piani che interseco. quindi ho un sistema in due equazioni e 3 incognite. come faccio a farmi venire fuori le due equazioni della retta?
ho queste due
-
[math]-4x+4y+4z-12=0[/math]

-
[math]2x-5y+z+11=0[/math]

cioè se risolvo il sistema mi esce che una incognita dipende dalle altre due ma come lo scrivo sotto forma di equazione?
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Quella è già l'equazione della retta: la forma cartesiana di una retta nello spazio è data dall'intersezione di due piani. Mi sa che devi rivederti un po' di teoria.
dribusen
dribusen - Habilis - 175 Punti
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ahhh è vero.....che deficente che so:):)
grazie mille:):)
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Comunque, volendo puoi anche cercare la retta in forma parametrica, procedendo così: per prima cosa il vettore direzione della retta AC è
[math]a=(4,2,2)[/math]
(la differenza dei vettori). Ora, la tua retta passa per il punto medio
[math]M=(1,3,2)[/math]
e avrà vettore direzione
[math]v=(\alpha,\beta,\gamma)[/math]
, in modo che in forma parametrica, la retta risulti di equazione

[math]x=1+\alpha t,\ y=3+\beta t,\ z=2+\gamma t[/math]


per determinare il vettore
[math]v[/math]
, osserviamo che sso deve essere ortogonale sia al vettore
[math]a[/math]
si ala vettore normale al piano
[math]n=(2,-5,1)[/math]
, in quanto una retta giace su un piano se e solo se il suo vettore direzione è ortogonale alla normale al piano e passa per un punto del piano stesso (e il punto
[math]M[/math]
appartiene al piano). Pertanto puoi scrivere, usando il prodotto scalare tra vettori, le seguenti equazioni

[math]a\bullet v=0\ \Rightarrow\ 4\alpha+2\beta+2\gamma=0\\ n\bullet v=0\ \Rightarrow\ 2\alpha-5\beta+\gamma=0[/math]


La soluzione di tale sistema risulta data da tutti i vettori del tipo
[math](\alpha, 0, -2\alpha)[/math]
, per cui, scegliendo
[math]\alpha=1[/math]
si ottiene il vettore
[math]v=(1,0,-2)[/math]
e quindi l'equazione parametrica della retta

[math]x=1+t,\ y=3,\ z=2-2t[/math]
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