insule23
insule23 - Sapiens - 529 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto con questa equazione coi numeri complessi:
[math]\left ( z^{5}-\frac{\sqrt{3}-i}{2i} \right )\left ( \left | z^{4} \right |+1+i \right )=0[/math]
ho provato in tal modo; sono soluzioni dell'equazione date le soluzioni dell'equazione
[math]\left ( z^{5} \right )=\left (\frac{\sqrt{3}-i}{2i} \right )[/math]
e quelle dell'equazione..
[math]\left ( \left | z^{4} \right |+1+i \right )=0[/math]
ora però non sò come continuare..
se mi potete aiutare..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Bada bene che si ha

[math]
\begin{aligned}
& ... \left(z^5-\frac{\sqrt{3}-i}{2i}\right)\left(\left|z^4\right|+1+i\right)=0 \\
& \Leftrightarrow z^5=\frac{\sqrt{3}-i}{2i}=-\frac{1}{2}-i\,\frac{\sqrt{3}}{2} \; \; \vee \; \; \left|z^4\right|=-(1+i)
\end{aligned}\\
[/math]

dove la seconda equazione (per ovvie ragioni) è verificata per alcuna
[math]z\in\mathbb{C}\\[/math]
.
Dunque, il tutto si riduce al calcolo delle radici quinte di

[math]z^5 = -\frac{1}{2}-i\,\frac{\sqrt{3}}{2} \\[/math]

che si effettua tramite la nota formuletta, ossia

[math]\small z_k = \sqrt[5]{\rho}\cdot\left(\cos\left(\frac{\theta+2\,k\,\theta}{5}\right)+i\,\sin\left(\frac{\theta+2\,k\,\theta}{5}\right)\right) \; \; \; \; per \; k=0,\,1,\,2,\,3,\,4\\[/math]

dove

[math]\rho=\left|-\frac{1}{2}-i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right|=1, \; \; \theta =\arctan\left( \frac{-\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{-2}{1} \right)+\pi = \frac{4}{3}\pi\\[/math]
.

Chiaro? :)
insule23
insule23 - Sapiens - 529 Punti
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si.. per quanto riguarda le radice quinte tutto bene..
invece non ho ancora capito sulla la seconda equazione
cosa volevi dire con è verificata per alcuna z..
se mi puoi spiegare meglio anche con dei passaggi..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Devi ricordare che il modulo di un numero complesso è definito come la radice quadrata della somma dei quadrati della propria parte reale e di quella immaginaria: dunque è un numero reale, ossia un numero complesso con parte immaginaria pari a zero. Ne consegue che un'equazione
in cui si eguaglia il modulo di un numero complesso con un numero complesso (ossia un numero con parte immaginaria diversa da zero) non presenta soluzione, non è mai verificata. Ok? :)
insule23
insule23 - Sapiens - 529 Punti
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ok grazie..
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