federico779
federico779 - Erectus - 91 Punti
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Ciao a tutti, potete darmi una mano a risolvere questa equazione:
[math]y''-y=xe^x[/math]
a me esce
[math]y(x)=(e^x)/8 - (xe^x)/4 + (x^2e^x)/4 + ae^-x + be^x[/math]
ae^(-x) non riesco a scriverlo
nel libro esce cosi:
[math]y(x)= - (xe^x)/4 + (x^2e^x)/4 + ae^-x + be^x[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Facciamo una discussione generale. Hai una equazione differenziale lineare ordinaria a coefficienti costanti scritta come

[math]L_N y=f(x)[/math]
dove
[math]L_N[/math]
è un operatore differenziale di grado
[math]N[/math]
(contiene la derivata
[math]N[/math]
-ima come derivata di ordine più grande) e con
[math]f(x)=p_n(x) e^{ax}[/math]
, essendo
[math]p_n(x)[/math]
un polinomio di grado
[math]n[/math]
.
Se
[math]\lambda=a[/math]
è radice del polinomio caratteristico dell'equazione omogenea, di molteplicità algebrica
[math]r\le N[/math]
, allora la soluzione particolare da scegliere deve avere la forma seguente
[math]y_p(x)=x^r\cdot P_n(x)\cdot e^{ax}[/math]

dove
[math]P_n(x)=A_n x^n+A_{n-1} x^{n-1}+\ldots+A_1 x+A_0[/math]

è un polinomio a coefficienti incogniti di grado
[math]n[/math]
.
Spero sia chiaro.
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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La presenza del termine non omogeneo

[math]x e^x[/math]
che riprende la soluzione
[math]e^x[/math]
impone la scelta della soluzione particolare della forma
[math]y_p(x)=x(Ax+B)e^x[/math]
dove la parte
[math](Ax+B)e^x[/math]
dipende dalla forma del termine non omogeneo, mentre la
[math]x=x^1[/math]
moltiplicata in più è per il fatto che la soluzione
[math]\lambda=1[/math]
che porta al termine
[math]e^x[/math]
nella omogenea ha molteplicità algebrica 1.
federico779
federico779 - Erectus - 91 Punti
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grazie per la risposta, l'esercizio sono riuscito a svolgerlo :).
non ho capito bene la formula da usare in questi due casi:
[math]f(x)=x^2e^x[/math]
[math]f(x)=x^3e^x[/math]
:thx
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