MISSGLORIETTINA
MISSGLORIETTINA - Ominide - 43 Punti
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Esercizio 5. (Punti 2-2): Sia dato un sistema lineare con m equazioni in n incognite Ax=b . Sia
f :R^n-->R^m l'applicazione lineare la cui legge d'associazione è rappresentata dalla matrice
A∈R^m,n dei coefficienti del sistema. Si ha:
a. Il sistema ammette
soluzioni se e soltanto se il
vettore termine noto b∈Imf
b. Il rango di A è la
dimensione del
sottospazio Imf
c. Sono vere entrambe
le precedenti
d. Sono false entrambe
le precedenti.

Vorrei anche delle spiegazioni
Grazie mille

p.s:R^m,n (R elevato alla m,n)
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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Per rispondere a questa domanda, devi tenere presente il Teorema di Rouché-Capelli. Dando per scontato che tu sappia cos'è il rango di una matrice, tale teorema afferma quanto segue:

Sia dato il sistema di

[math]m[/math]
equazioni lineari in
[math]n[/math]
incognite scritto in forma matriciale
[math]AX=b[/math]
. Indichiamo con
[math]M=(A|b)[/math]
la matrice completa del sistema e siano poi
[math]r=rg(A),\ r'=rg(M)[/math]
i ranghi delle matrici date. Allora il sistema ammette soluzioni se e solo se
[math]r=r'[/math]
.
Come usarlo in questo caso? Sapendo che
[math]f[/math]
è l'applicazione lineare associata alla matrice
[math]A[/math]
segue per definizione che
[math]\mathrm{Im}(f)=\{y\in\mathbb{R}^m\ :\ y=f(x),\ x\in\mathbb{R}^n\}[/math]

Questo dice che, se esiste una soluzione del sistema, allora esiste
[math]x[/math]
tale che
[math]b=f(x)[/math]
. Viceversa, se
[math]b\notin\mathrm{f}[/math]
allora non ci sarebbe alcun
[math]x[/math]
che verifichi l'uguaglianza e quindi non ci sarebbe soluzione. Per cui la risposta a) è vera.
Vediamo cosa accade alla b). Osserva che, per definizione,
[math]\dim(\mathrm{Im}(f))=rg(A)[/math]
(questo è vero a causa del teorema delle dimensioni per una applicazione lineare che ti dice che la dimensione del dominio è uguale alla somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine dell'applicazione): ma allora utilizzando il teorema di Rouché-Capelli segue che hai una soluzione se e solo se questi due valori sono uguali e quindi anche la b) è vera. Segue che la risposta corretta è la c).
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