saretta6996
saretta6996 - Ominide - 19 Punti
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Ciao a tutti, altro esercizio di probabilità e statistica!


Siano X ed Y variabili aleatorie e sia f(x,y) la distribuzione congiunta. Consideriamo le seguenti f: determinate quali sono autentiche distribuzioni di probabilità congiunte sui domini assegnati, calcolate il fattore c di normalizzazione ed infine dite se le variabili X ed Y sono indipendenti o
meno.
a) f(x,y) = c sin(x)cos(y) su [0,π/2] x [0,π/2]
b) f(x,y) = c(x² + y³ -1) su [0,1] x [0,1]
c) f(x,y) = c(x²y + xy²) su [-1,1] x [-1,1]
d) f(x; y) = c℮^(-(x²+y²)) su [0,∞] x [0,∞]
e) f(x; y) = c(x²y + xy²) su [0,∞] x [0,∞]


(In allegato se volete c'è il testo in simboli non ascii!)
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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a)
[math]f[/math]
è una d.d.p congiunta in quanto funzione continua in
[math][0, \pi/2] \times [0, \pi/2][/math]
con segno costante.
Il fattore di normalizzazione è
[math]c = 1[/math]
perché
[math]
\int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} c \sin(x) \cos(y) dx dy = c.
[/math]

[math]X, Y[/math]
sono indipendenti, visto che
[math]f(x,y) = g(x)h(y)[/math]
, con
[math]g(x) = sin(x)[/math]
d.d.p. di
[math]X[/math]
su
[math][0, \pi/2][/math]
,
[math]h(y) = cos(y) [/math]
d.d.p. di
[math]Y[/math]
su
[math] [0, \pi/2][/math]
.
b)
[math]f[/math]
non è d.d.p. perché assume valori positivi e negativi in
[math][0,1] \times [0,1][/math]
; p.es.
[math]f(0, 0) = -c, f(1, 1) = c[/math]
.
c)
[math]f[/math]
non è d.d.p. perché assume valori positivi e negativi in
[math] [-1,1] \times [-1,1] [/math]
; p.es.
[math]f(-1, -1) = -2c, f(1, 1) = 2c[/math]
.
d) stessa conclusione che in a), con
[math]c = 4/\pi[/math]
,
[math]g(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}, h(y) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-y^2}[/math]
.
e)
[math]f[/math]
non è d.d.p. perché l’integrale di
[math]x^2y + xy^2[/math]
non converge su
[math][0, \infty] \times [0, \infty][/math]
.
ciao
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