annalisa.bianchi.9
annalisa.bianchi.9 - Ominide - 13 Punti
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Se ho ad es. lim n-> +/- oo di (-1)^n quanto fa? io sapevo che k^+oo è +oo per k>1 e invece è 0 per 0<k<1, ma per k<0 quanto fa?
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Guarda che quello che dici va bene solo per basi positive. Quando invece la base è negativa, si ragiona in questo modo: osserva che

[math](-1)^n=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & n=2m\\ -1 & & n=2m+1
\end{array}\right.[/math]

Questa cosa ti porta a concludere che il limite non esiste, in quanto il "più infinito" non può essere classificato come pari o dispari. Più "precisamente" puoi dire che il limite, se esiste, deve essere pari a 1 o a -1 (unici due valori possibili di quella potenza). Ma se fosse pari a 1 si avrebbe, per definizione di limite, che

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ n_\epsilon>0\ |\ \forall\ n>n_\epsilon\ \Rightarrow\ |(-1)^n-1|<\epsilon[/math]

se allora risolviamo, rispetto ad n, la disequazione

[math]|(-1)^n-1|<\epsilon[/math]

essa equivale a

[math]1-\epsilon< (-1)^n < 1+\epsilon[/math]

e quindi, supponendo per esempio
[math]0<\epsilon <1[/math]
si avrebbe l'assurdo che
[math](-1)^n[/math]
, che è una quantità sia positiva che negativa, dovrebbe essere sempre compreso tra due valori positivi. Allo stesso modo si può verificare che il limite non può valere -1.
E pertanto il limite non esiste.
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