federico779
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x^2z dxdydz, c è la regione del semispazio z>=0 delimitata dal paraboloide z=9x^2+9y^2 dal cilindro x^2+y^2=4. Non sono sicuro se ho impostato bene l'esercizio: integrale doppio dxdy per l'integrale dz che va da 0 a 9x^2+9y^2
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, vogliamo calcolare l'integrale triplo
[math]\begin{aligned} \iiint\limits_{\Omega} x^2\,z\,dx\,dy\,dz \end{aligned}[/math]
, dove
[math]\Omega := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : z \ge 0, \; z \le 9x^2 + 9y^2, \; x^2+y^2 \le 4 \right\}\\[/math]
.

Optando per un'integrazione per fili paralleli all'asse z, si ha
[math]\begin{aligned} \iiint\limits_{\Omega} x^2\,z\,dx\,dy\,dz = \iint\limits_D \left( \int_0^{9x^2+9y^2} x^2\,z\,dz \right) dx\,dy\end{aligned}[/math]
,
dove
[math]D := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \le 4 \right\}\\[/math]
.

P.S. si tratta di un'integrazione iterata, non
di un prodotto di integrali!! A te proseguire. ;)
federico779
federico779 - Erectus - 91 Punti
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Ok grazie mille per la risposta, ho fatto un po di confusione scrivendo. Mi hai tolto ogni , dubbio l'avevo svolto allo stesso modo
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