girl1993
girl1993 - Erectus - 55 Punti
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qualcuno mi potrebbe spiegare perché risolvendo questo limite lim di x che tende a zero di (sen( x ) -x)/x^3 in questo modo: lim.... di(sen( x ) -x)/x^3= lim di x che tende a zero di( ((sen(x))/x) 1/x^2)- x/x^3=lim....di 1/x^2-1/x^2=0 il risultato non torna visto che dovrebbe venire -1/6? so che si puo' arrivare al risultato usando de l'hopital e non mi interessa vedere la risoluzione con questo teorema ma quello che vorrei capire è perché il limite non puo' essere risolto cosi, quali sono i passaggi o le considerazioni sbagliate che ho fatto risolvendo il limite cosi e soprattutto perché; in particolare poi vorrei sapere perché se io per esempio avessi avuto da risolvere non il lim di x che tende a zero di (sen( x ) -x)/x^3 ma direttamente il limite che inizia cosi: limite di x che tende a zero di 1/x^2-1/x^2 perché questo posso dire che i due termini si annullano a vicenda e quindi il risultato del limite fa zero mentre in quello con il seno quando arrivo al seguente passaggio: limite di x che tende a zero di 1/x^2-1/x^2 non posso dire che i due termini si annullano ma che rimane la forma indeterminata 00- 00? grazie in anticipo a tutti coloro che risponderanno.
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Se ho capito bene il limite è questo

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}[/math]

Il problema nella risoluzione da te proposta sta in quello che si chiama "cancellazione degli infinitsimi": operando come fai, senza rendertene conto, stai affermando che la funzione di partenza, evidentemente non nulla, equivalealla funzione

[math]\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2}=0[/math]

che invece è nulla. Il problema sorge da una questione di "sviluppi" in potenze della funzione seno. Non so se conosci il polinomio di Taylor, ma la funzione seno può essere scritta la modo seguente

[math]\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots[/math]

dove i puntini sostituiscono altri termini che, in questa sede, non ci interessano. Quello che fai tu equivale a pensare che la funzione seno si scriva come
[math]\sin x=x[/math]
e che quindi la funzione diventi
[math]\frac{\sin x-x}{x^3}=\frac{x-x}{x^3}=0[/math]

Se invece scrivi la funzione seno come ho fatto io ottieni

[math]\frac{\sin x-x}{x^3}=\frac{x-x^3/6-x}{x^3}=\frac{-x^3/6}{x^3}=-\frac{1}{6}[/math]

e facendo il limite otteniamo il valore richiesto.
girl1993
girl1993 - Erectus - 55 Punti
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ciampax grazie per la risposta però vorrei chiederti come faccio a capire che quello che sto scrivendo è sbagliato cioè anche se io non conosco il polinomio di taylor e a parte il fatto che il risultato sarebbe sbagliato se dovessi usare il procedimento che ho scritto è possibile dare un'altra spiegazione al fatto che sto usando un procedimento sbagliato e che mi faccia accorgere di tale errore che sto facendo?
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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E' una questione legata agli ordini di infinitesimo di una funzione. Sai cosa sono?
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