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converge o diverge?


integrale (2;+inf) 2 / (x^2)(sqrt(x^3)+1

qual'è il procedimento per sapere se converge o diverge?
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Mi apre che l'integrale sia questo:

[math]\int_2^{+\infty}\frac{2}{x^2(\sqrt{x^3}+1)}\ dx[/math]

Ora, dal momento che la funzione integranda è definita dappertutto su
[math](2,+\infty)[/math]
bisogna solo verificare il comportamento all'infinito. Dovresti sapere che c'è un teorema che afferma quanto segue:
TEO: l'integrale
[math]\int_a^{+\infty} f(x)\ dx[/math]
converge se la funzione
[math]f(x)\sim\frac{1}{x^\alpha}[/math]
con
[math]\alpha>1[/math]


Detto questo, osserviamo che

[math]f(x)\sim\frac{2}{x^2\cdot\sqrt{x^3}}=\frac{2}{x^{7/2}}[/math]

e poiché
[math]7/2>1[/math]
possiamo concludere che l'integrale converge.
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