maschinada
maschinada - Erectus - 144 Punti
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(log2(4^x+1)-2x)/(2x+1)<=1

Più avanti mi viene un sistema con due disequazioni

una diseqauzione mi viene x>-1/2

l altra non riesco a svolgerla
lorg
lorg - Eliminato - 902 Punti
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Ciao, il logaritmo é in base 2 o naturale? Grazie. Ciao
nRT
nRT - Moderatore - 3304 Punti
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Ciao maschinada,
per evitare ambiguità nella scrittura, puoi usare LaTeX tramite i tag "maths" dal menu a tendina. In alternativa, cerca di evitare ambiguità nella scrittura. Ad esempio, la tua disequazione potresti scriverla:

(log_2(4^x+1)-2x)/(2x+1)<=1

sottolineando in questo modo il fatto che 2 è base del logaritmo. (Tra l'altro in LaTeX si scrive proprio in questo modo, con il trattino basso).

Vediamo ora come si può risolvere.

[math]
\frac{log_2(4^x+1)-2x}{2x+1} \le 1 \\
[/math]


Condizioni di esistenza:

[math]x \neq -\frac{1}{2} \\[/math]


Portiamo tutto al primo membro:

[math]\frac{log_2(4^x+1)-4x-1}{2x+1} \le 0 \\[/math]


Studiamo il segno del numeratore:

[math]
log_2(4^x+1)-4x-1 \ge 0 \\
log_2(4^x+1) \ge 4x + 1 \\
4^x+1 \ge 2^{4x + 1} \\
2 \cdot 2^{4x} - 2^{2x} - 1 \le 0 \\
2^{2x} = t,\ \ t>0 \\
2t^2 - t - 1 \le 0 \\
-\frac{1}{2} \le t \le 1 \\
[/math]


Considerando che:

[math]t > 0 [/math]


La soluzione diventa:

[math]
0 \le t \le 1 \\
0 \le 2^{2x} \le 1 \\
0 \le 2^{2x}\ \ \forall x \in \mathbb{R} \\
2^{2x} \le 1 \\
2x \le log_21 \\
x \le 0 \\
[/math]


Studiamo il segno del denominatore:

[math]
2x + 1 > 0 \\
x > -\frac{1}{2} \\
[/math]


Facendo lo schema con lo studio dei segni vediamo quando la disequazione ha soluzione non positiva. Risulta:

[math]x < -\frac{1}{2} \lor x \ge 0 \\[/math]


Spero ti sia stato d'aiuto. Se qualcosa non è chiaro chiedi pure. :)
Ciao
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