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Salve, la mia insegnante di analisi sembra mettere sempre un esercizio sugli integrali col parametro e dire per quali valori converge e il motivo


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l'integrale è questo (non so come mettere i simboli ), non ho la minima idea di come iniziare con questo tipo di integrali per cui ringrazio per qualsiasi aiuto.

Questa risposta è stata cambiata da TeM (27-06-15 12:05, 2 anni 3 mesi 1 giorno )
TeM
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Dato l'integrale improprio
[math]\int\limits_0^{+\infty} \frac{e^{-3ax}\,\sin(3x)}{x^a\,\sqrt[5]{2 - x}}\text{d}x\\[/math]
, con
[math]a \in \mathbb{R}[/math]
:
i) per
[math]x \to 0^+[/math]
:
[math]\frac{e^{-3ax}\,\sin(3x)}{x^a\,\sqrt[5]{2 - x}} \sim \frac{1 \cdot 3x}{x^a\,\sqrt[5]{2}} = \frac{3}{\sqrt[5]{2}}\frac{1}{x^{a - 1}}\\[/math]
;
ii) per
[math]x \to 2[/math]
:
[math]\frac{e^{-3ax}\,\sin(3x)}{x^a\,\sqrt[5]{2 - x}} \sim \frac{e^{-6a} \cdot \sin(6)}{2^a\,\sqrt[5]{2 - x}} = \frac{\sin(6)}{2^a\,e^{6a}}\frac{1}{(2 - x)^{\frac{1}{5}}}\\[/math]
;
iii) per
[math]x \to +\infty[/math]
:
[math]\left|\frac{e^{-3ax}\,\sin(3x)}{x^a\,\sqrt[5]{2 - x}}\right| \le \frac{e^{-3ax} \cdot 1}{x^a\,\sqrt[5]{x - 2}} \sim \frac{1}{x^{a + \frac{1}{5}}\,e^{3ax}}\\[/math]
.
A questo punto, ricordando il carattere degli integrali impropri notevoli:

i) si ha convergenza per
[math]a - 1 < 1[/math]
ossia
[math]a < 2\\[/math]
(divergenza altrimenti);
ii) si ha convergenza per
[math]\frac{1}{5} < 1[/math]
ossia per
[math]\forall\,a \in \mathbb{R}\\[/math]
;
iii) si ha convergenza per
[math]a \ge 0\\[/math]
(divergenza altrimenti).
Intersecando tali condizioni, si conclude che l'integrale improprio
in esame converge per
[math]0 \le a < 2[/math]
, diverge altrimenti. ;)
rodrigoruiz1
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una domanda, non ho capito perchè da x^a passa a x^a+ 1/5
TeM
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Per
[math]x \to +\infty[/math]
, si ha
[math]x^a\,\sqrt[5]{x - 2} \sim x^a\,\sqrt[5]{x} = x^{a + \frac{1}{5}}[/math]
. ;)
rodrigoruiz1
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Grazie mille!
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