Lucasso
Lucasso - Ominide - 32 Punti
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Come da titolo vi chiedo la dimostrazione del teorema spettrale, ma leggendo sul web ho capito che ogni professore enuncia un teorema diverso a seconda della profondità con cui lo analizza. Detto questo, vi dico il mio enunciato e il lemma con cui dovrei dimostrare il teorema:

Teorema Spettrale

Sia
[math]T: R^{n} \Rightarrow R^{n}[/math]
un endomorfismo. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. Esiste una base ortonormale di
[math]R^{n}[/math]
formata da autovettori.
2.
[math]T[/math]
è un operatore simmetrico

Lemma

Siano
[math]T: R^{n} \Rightarrow R^{n}[/math]
un endomorfismo simmetrico e
[math]U[/math]
un sottospazio vettoriale di
[math]R^{n}[/math]
tale che
[math]T(U)⊆U[/math]
. Allora
[math]T(U^{⊥})⊆U^{⊥}[/math]
.

Dimostrazione (Lemma)

Sia
[math]w∈U^{⊥}[/math]
, si deve dimostrare che
[math]T(w)∈U^{⊥}[/math]
.
Per ogni
[math]u∈U[/math]
, si ha:
[math]<T(w),u> = <w,T(u)>=0[/math]
, essendo
[math]T(u)∈U[/math]


Dimostrazione(Teorema Spettrale)

[math]1 \Rightarrow 2 [/math]

Per ipotesi B è una base ortonormale composta da autovettori, allora la matrice associata a T rispetto a tale base è diagonale, dunque simmetrica.

[math]1 \Leftarrow 2[/math]

Si proceda per induzione sulla dimensione dello spazio.

n=1) Ovvio. In dimensione 1 ogni operatore è simmetrico.

n>1) Si supponga che il teorema vale per n-1.
T è simmetrico --> T ha tutti autovalori reali.
Sia
[math]v_{1}[/math]
un autovettore di norma 1 e
[math]W=(Span{v_{1})^{⊥}[/math]
. Per il lemma precedente,
[math]T(W)⊆W[/math]
(perchè?).
Dunque la restrizione di
[math]T[/math]
a
[math]W[/math]
è un endomorfismo simmetrico di uno spazio di dimensione
[math]n-1[/math]
(cosa significa?).
Per ipotesi induttiva, esiste una base ortonormale
[math](v_{2},...,v_{n})[/math]
di
[math]W[/math]
composta da autobettori di
[math]T[/math]
. Aggiungiamo
[math]v_{1}[/math]
:
[math](v_{1},v_{2},...,v_{n})[/math]
è una base ortonormale di
[math]R^{n}[/math]
composta da autovettori di
[math]T[/math]
.

Vi prego aiutatemi e spiegatemi questa dimostrazione in modo chiaro!
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Nel tuo caso, stai enunciando il Teorema spettrale per operatori simmetrici in spazi con prodotto scalare (non è una questione di "profondità", è che ci sono almeno una decina di casi particolari di tale teorema e se, ovviamente, non stai facendo uno studio generale, risulta inutile andare a dimostrare il teorema nella sua forma più completa, per cui si cercano dimostrazioni più dirette).


Detto questo, il lemma mi sembra chiaro e non mi ci soffermo (in pratica applichi la definizione di operatore simmetrico in uno spazio a prodotto scalare).


Passiamo all'implicazione
[math]1)\Rightarrow 2)[/math]
. Anche qui c'è poco da dire: una base ortonormale di autovettori di
[math]T[/math]
rispetto al prodotto scalare fornisce (direi quasi per definizione) la diagonalizzabilità dell'operatore stesso che, quindi (almeno prendendo il suo rappresentante per coniugio) risulta simmetrico, e tanto basta.

Per l'altra implicazione, il caso
[math]n=1[/math]
è banale. Vediamo ora quello che ti manda in confusione. Sappiamo che
[math]v_1[/math]
è autovettore di norma 1: quindi, in formule
[math]T V_1=\lambda_1 v_1,\qquad < v_1, v_1 >=1[/math]


Considera lo spazio
[math]U=span(v_1)[/math]
: ovviamente
[math]U=\{av_1\ |\ a\in R\}[/math]
e quindi si ha per ogni
[math]v=av_1\in U[/math]
che
[math]Tv=T(av_1)=a(Tv_1)=a\lambda v_1=\lambda(av_1)=\lambda v\in U[/math]

per cui
[math]T(U)\subseteq U[/math]
e ne segue, dal lemma precedente che
[math]U^\bot=\{span(v_1)\}^\bot=span(v_1^\bot)=W[/math]
è tale che
[math]T(W)\subseteq W[/math]


Ora,
[math]U[/math]
è un sottospazio di dimensione 1, per cui il suo ortogonale
[math]W[/math]
ha dimensione
[math]n-1[/math]
: pertanto, se consideri l'operatore
[math]T[/math]
quando agisce solo sugli elementi di
[math]W[/math]
(la sua restrizione a
[math]W[/math]
) esso risulta un endomorfismo da
[math]W[/math]
in sé per quanto detto poco fa.

Per l'ipotesi induttiva, sappiamo che se il teorema vale per
[math]n-1[/math]
allora deve esistere una base ortonormale di
[math]W[/math]
composta da autovettori. Se adesso a questa base aggiungi il vettore
[math]v_1[/math]
, ottieni una base ortonormale di
[math]R^n[/math]
: infatti essendo
[math]v_1[/math]
ortogonale a
[math]W[/math]
qualsiasi prodotto scalare con i vettori della base di quest'ultimo risulta nullo. Pertanto hai trovato una base ortonormale e il teorema è dimostrato. Spero sia chiaro.


P.S.: ho come l'impressione che ti sfugga qualche definizione (non puoi non sapere cosa sia la restrizione di un endomorfismo ad un sottospazio) e anche un po' di malleabilità (il non riuscire a capire come vada usato il lemma). Ti consiglio di cercare di fare in modo di aver meglio chiari i concetti man mano che prosegui. Se hai bisogno di altro, chiedi pure.
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