stella.rad85
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Determinare tutti i vettori di lunghezza 1 che formano con il vettore A=(1,-1,2) un angola di 45°
TeM
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Dato il vettore
[math]\mathbf{v} = (1, \; -1, \; 2)[/math]
e considerato un generico versore
[math]\mathbf{w}[/math]
tale per cui l'angolo
compreso tra
[math]\mathbf{v}[/math]
e
[math]\mathbf{w}[/math]
sia pari ad
[math]\alpha = 45°[/math]
, ricordando la definizione di prodotto scalare,
si ha
[math]\small (1, \; -1, \; 2) \cdot \mathbf{w} = \sqrt{6}\; \sqrt{1}\;\cos(45°)[/math]
, ossia
[math](1, \; -1, \; 2) \cdot \mathbf{w} = \sqrt{3}[/math]
. In altri termini,
dette
[math]w_1, \; w_2, \; w_3[/math]
le componenti del generico versore
[math]\mathbf{w}[/math]
, i vettori che soddisfano la richie-
sta sono tutti quelli tali per cui
[math]w_1 - w_2 + 2\,w_3 = \sqrt{3}[/math]
e
[math]w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 = 1\\[/math]
.
Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
stella.rad85
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Grazie mille, quindi non devo trovare realmente un vettore??

In questo caso io ho fatto cosi: Determinare tutti i vettori di lunghezza 2 che sono perpendicolari ad A=(1,-1,2)
Ho messo a sistema le due condizioni dopo avendo un sistema con 2 equazioni e tre incognite ho punto un'incognita uguale a zero e dopo ho risolto il sistema trovando il vettore C=(0,2,1)

è sbagliato?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Bada bene che già la richiesta suggerisce il fatto che i vettori che soddisfano il
quesito sono più di uno e questo fatto è abbastanza intuibile. Infatti, in maniera
molto simile, avrebbero potuto richiedere la determinazione di tutte le rette for-
manti un certo angolo con una retta data: capisci ben che ne esistono infinite di
rette che sottostanno a tale vincolo!

In maniera analoga, dato il vettore
[math]\mathbf{v} = (1, \; -1, \; 2)[/math]
e considerato un
generico vettore
[math]\mathbf{w}[/math]
tale per cui l'angolo compreso tra
[math]\mathbf{v}[/math]
e
[math]\mathbf{w}[/math]
sia pari
ad
[math]\alpha = 90°[/math]
, si ha
[math]\small (1, \; -1, \; 2) \cdot \mathbf{w} = \sqrt{6}\; \sqrt{4}\;\cos(90°)[/math]
, ossia segue
[math](1, \; -1, \; 2) \cdot \mathbf{w} = 0[/math]
. In altri termini, dette
[math]w_1, \; w_2, \; w_3[/math]
le compo-
nenti del generico vettore
[math]\mathbf{w}[/math]
, i vettori che soddisfano la richiesta sono
tutti quelli tali per cui
[math]w_1 - w_2 + 2\,w_3 = 0[/math]
e
[math]w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 = 4\\[/math]
.
Infine, ti faccio notare che il vettore C da te determinato non è lungo 2. ;)
stella.rad85
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Quindi come risolvo questo quesito??

Determinare tutti i vettori di lunghezza 2 che sono perpendicolari ad A=(1,-1,2)

Grazie mille comunque!
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dato il vettore
[math]\mathbf{v} := \left(1, \; -1, \; 2\right)[/math]
e indicato con
[math]\mathbf{w} := \left(w_1, \; w_2, \; w_3\right)[/math]
un generico vettore di
[math]\mathbb{R}^3[/math]
,
affinché:

i)
[math]\widehat{\mathbf{v},\mathbf{w}} = 90° \; \; \Rightarrow \; \; w_1 - w_2 + 2\,w_3 = 0\\[/math]
;
ii)
[math]|\mathbf{w}| = 2 \; \; \Rightarrow \; \; w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 = 4\\[/math]
;
ossia esattamente quanto sopra scritto.

Qualora si volesse andare oltre, non rimane che porre a sistema
tali equazioni e risolverlo. In particolare, in questo caso, si ha:
[math]\mathbf{w} = \left( -\lambda \pm \sqrt{2 - \frac{3}{2}\,\lambda^2}, \; \lambda \pm \sqrt{2 - \frac{3}{2}\,\lambda^2}, \; \lambda \right)[/math]
, per
ogni
[math]\lambda \in \mathbb{R}\\[/math]
.
Spero sia più chiaro. ;)
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