Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Per sicurezza riscrivo la funzione
[math]f(x) = 1+ln(|x|-4)[/math]

i questi sono sempre quelli di solito.
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Per prima cosa, il dominio è sbagliato. La condizione è

[math]|x|-4>0\ \Rightarrow\ |x|>4\ \Rightarrow\ x< -4,\ x>4[/math]

per cui il dominio
[math]D=(-\infty,-4)\cup(4,+\infty)[/math]


SIMMETRIE: abbiamo

[math]f(-x)=1+\ln(|-x|-4)=1+\ln(|x|-4)[/math]

pertanto la funzione è pari. Mi limito a studiarla sull'insieme
[math](4,+\infty)[/math]
, dal momento che sull'altro la funzione assume lo stesso comportamento.

INTERSEZIONI E SEGNO: risolviamo

[math]1+\ln(|x|-4)\ge 0\ \Rightarrow\ \ln(|x|-4)\ge -1\\ \Rightarrow\ |x|-4\ge e^{-1}\ \Rightarrow\ |x|\ge 4+e^{-1}[/math]


da cui
[math]x\le -4-e^{-1},\ x\ge 4+e^{-1}[/math]
. La funzione presenta i punti di intersezione con l'asse x
[math]A_{\pm}(\pm(4+e^{-1},0)[/math]
e non ha punti di intersezione con l'asse y.

ASINTOTI: abbiamo
[math]\lim_{x\to 4^+} f(x)=-\infty[/math]
e per simmetria
[math]\lim_{x\to -4^-} f(x)=-\infty[/math]

e pertanto le rette
[math]x=\pm 4[/math]
sono asintoti verticali. Inoltre
[math]\lim_{x\to \pm\infty} f(x)=+\infty[/math]

e la funzione non presenta né asintoti orizzontali né obliqui, essendo
[math]\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=0[/math]


DERIVATA PRIMA: mi limito a studiare la derivata della funzione
[math]f(x)=1+\ln(x-4),\ x\in(4,+\infty)[/math]
. Abbiamo
[math]f'(x)=\frac{1}{x-4}>0\ \forall\ x\in(4,+\infty)[/math]

e pertanto la funzione risulta sempre crescente su tale intervallo. Per simmetria, possiamo concludere che la funzione risulta sempre decrescente su
[math](-\infty,-4)[/math]
, Non vi sono massimi e minimi.

DERIVATA SECONDA: come prima abbiamo

[math]f''(x)=-\frac{1}{(x-4)^2}<0\ \forall\ x\in(4,+\infty)[/math]

e pertanto la funzione è sempre concava su
[math](4,+\infty)[/math]
. Per simmetria, lo è pure su
[math](-\infty,-4)[/math]
e non presenta flessi.

Allego il grafico.
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