ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Ciao a tutti! ho questo esercizio di probabilità , preso da un vecchio esame, che non riesco proprio a risolvere...

"Siano X1,X2,.... variabili aleatorie indipendenti, Xn--exp(Zn) per ogni n>1, dove 0 < Zn --->Z, Z>0.
Posto Sn = X1+ ..... + Xn per ogni n>1, si verifichi se Sn---> +infinito quasi certamente. "

vorrei abbozzare una soluzione...ma l'unica cosa che so è la definizione di convergenza quasi certa...e sinceramente non so come applicarla in questo esercizio.... :(
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Hai provato a scrivere esplicitamente cosa sia
[math]S_n[/math]
? Dal momento che
[math]S_n=\sum_{k=1}^n X_k[/math]
e che
[math]X_k\sim\exp(Z_k)[/math]
allora
[math]S_n\sim\sum_{k=1}^n \exp{Z_k}[/math]

Ora, dal momento che
[math]Z_k\to Z>0[/math]
si ha pure
[math]\exp(Z_k)\to \exp(Z)[/math]
ma allora
[math]S_n\sim n\exp(Z)[/math]
, sei daccordo? (soprattutto, sai come dimostrarlo?). Infine se fai il limite per
[math]n\to+\infty[/math]
ottieni che
[math]S_n\to+\infty[/math]
che è quanto ti serve.
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Pinchbeck

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