ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Ciao a tutti! Mi ritrovo in seria difficoltà in questo esercizio...

"Si consideri una successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite
[math]X_1,X_2....[/math]
tali che
[math]P(X_1=0)= P(X_1=2)= \frac{1}{2} [/math]
. Si ponga
[math]Y_n = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^n x_k [/math]
.
a) Si determini se
[math]Y_n[/math]
converge a 0 in probabilità
b) Si determini se
[math]Y_n[/math]
converge a 0 quasi certamente "

la mia difficoltà è che mi ritrovo questo prodotto
[math]\prod_{k=1}^n x_k [/math]
e io ho sempre fatto questi tipi di esercizi con la sommatoria
[math]\sum[/math]
...e non so proprio come muovermi...
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Suppongo che
[math]Y_n=\frac{1}{n}\Pi_{k=1}^n X_k[/math]
, giusto? Cioè, è la variabile "prodotto" delle variabili aleatorie. Non vedo dove sia la difficoltà: cosa non ti torna di preciso? Come calcolare valore atteso e varianza?
ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Si si è la variabile prodotto delle variabili aleatorie...comunque quello che non torna a me è che la mia prof aveva dato una soluzione un po' frettolosa e abbastanza confusa per questo esercizio, in cui (tornandola poi a riguardare) non mi ci ritrovo , ovvero :

per il punto a) prendiamo un
[math]\epsilon >0[/math]
tale per cui
[math]P(Y_n > \epsilon) \leq P(X_1=2 .... X_n=2) = \frac{1}{2^n}[/math]
e il tutto poi tendeva di conseguenza a 0 in probabilità...
per il punto b) aveva usato il secondo lemma di Borel-Cantelli, ma non ho la minima idea di come l'abbia potuto usare...
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Mi manca qualcosa: come sono definite le
[math]X_i[/math]
? Mi pare di capire che in generale deve essere
[math]P(X_i=2)=1/2[/math]
o sbaglio? Se è così, osserva che
[math]P(X_1=2,\qquad X_n=2)=P(X_1=2)\cdot\ldots\cdotP(X_n=2)=\frac{1}{2^n}[/math]

in quanto le variabili sono indipendenti. Inoltre dal momento che da quel che sembra i valori assunti dalle
[math]X_i[/math]
sono solo 0 e 2, possiamo concludere che
[math]Y_n\in\{0, 2^n\}[/math]

e il valore
[math]2^n[/math]
lo assume solo quando tutte le
[math]X_i=2[/math]
e nessuna vale zero. Quindi, visto che per la convwergenza in probabilità basta far vedere che per
[math]\epsilon>0[/math]
si ha
[math]P(Y_n\ge\epsilon)\to 0[/math]
, dal momento che l'unico valore di tale valore non nullo coincide con quello in cui tutte le X sono uguali a due, puoi scrivere la cosa che dice la tua prof.
Prova a ragionare in questo senso nell'altro caso.
ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Si in pratica
[math]P(X_i = 2)=1/2[/math]
, grazie mille per il punto a) ora tutto il filo logico per arrivare alla conclusione mi è chiaro.
per il punto b) allora, una delle possibili definizioni di convergenza quasi certa è questa " Data una successione di v.a.
[math]X_i[/math]
e una v.a. X, diremo che
[math]X_i[/math]
converge quasi certamente a X se
l’evento
[math]X_i(\omega)\rightarrow X(\omega)[/math]
è quasi certo, ovvero se :
[math]P (X_i\rightarrow X)[/math]
=
[math]P (\omega \in \Omega : \lim_{i \to \infty}X_i(\omega)= X(\omega))[/math]
= 1 " e quindi poi si può aggiungere che
[math]X_i - X \rightarrow 0[/math]
quasi certamente...
una soluzione molto presa alla lunga potrebbe essere che potrei riagganciarmi al ragionamento " dal momento che l'unico valore di tale valore non nullo coincide con quello in cui tutte le X sono uguali a due" e dire che posso affermare che le mie Yn convergono a 0 quasi certamente come da definizione...
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Sì, magari lo formalizzerei meglio, ma il senso è questo.
ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Ok! Ancora una volta ,grazie mille per tutto!
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