vincsemp
vincsemp - Ominide - 15 Punti
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Salve a tutti vorrei sapere come svolgere questo tipo di esercizio di uno studio di funzione

f(x)= Tutto sotto radice di Ln(4x)-2x

GRAZIE IN ANTICIPO MI STO ESAURENDO
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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é scritta così?
[math]f(x)=\sqrt{ln(4x)-2x}[/math]
vincsemp
vincsemp - Ominide - 15 Punti
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sisi grazie
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Sono perplesso.
Molto perplesso.
Facendo il Campo di Esistenza della funzione bisogna porre
- argomento del logaritmo strettamente maggiore di ZERO (facile: x > 0)
- argomento della radice maggiore o uguale a ZERO
e qui A ME casca l'asino.
Voglio dire che sarei QUASI pronto a mettere la mano sul fuoco che
ln(4x) - 2x
sia SEMPRE minore di ZERO
il che vorrebbe dire che la funzione NON esiste mai.
Ho provato a fare il grafico di
y = ln(4x)
e di
y = 2x
e mi viene che ln(2x) è sempre SOTTO a quello di 2x, quindi la loro differenza è sempre negativa.
Ho provato a studiare
y = ln(4x) - 2x
e mi viene che il suo massimo è nel punto
y = ln2 - 1 = 0,69314 - 1 < 0
quindi il grafico di questa funzione è sempre SOTTO l'Asse X e pertanto la radice di "qualcosa" negativo non esiste.
Per me (e ribadisco PER ME), scritta così non esiste.
Per me (e ribadisco PER ME) dovrebbe essere PER LO MENO
[math]f(x)=\sqrt{ln(6x)-2x}[/math]
.
.
Controlla bene il testo e aspettiamo un secondo parere più qualificato del mio, perché potrei anche aver preso una cantonata.
Scrivi in ogni caso una risposta, così quelli che aprono il forum non danno per scontato che abbia già risposto io e magari ci indicano la strada.
Scusa, ma più di così non so come aiutarti.
Carlo
vincsemp
vincsemp - Ominide - 15 Punti
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Scusami tanto e grazie molto per avermi risposto, invece di -2x è +2x .... di nuovo scusami

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Non hai preso nessuna cantonata! Mea culpa... comunque sarai lieto se mi rispondesse nuovamente
[math]f(x)=\sqrt{ln(4x)+2x}[/math]
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Ahah....
Il mio dubbio nasceva dal fatto che SE l'esercizio è così (come era), ALLORA vuol dire che si può fare, ma a me sembrava impossibile.
Comunque prendi nota dei passaggi che ti ho proposto perché potrebbero esserti utili in futuro per casi analoghi.
--------
CdE
[math]4x>0\\x>0\\ln(4x)+2x\geq 0\\ln(4x)\geq -2x\\[/math]
.
.
Onestamente l'unico modo che mi viene per risolvere l'equazione
ln(4x) = -2x
è quello grafico (vedi disegni allegati)
che però ci da un risultato "approssimativo"
b uguale a CIRCA 0,18
quindi:
.
[math]x\geq b\\con\\b\simeq 0,18[/math]
.
.
Detto questo il resto è facile:
la funzione
g(x) = ln(4x) + 2x
è sempre crescente perché SOMMA di due funzioni sempre crescenti
anche f(x) = radice quadrata di g(x) è sempre crescente
e tende a più infinito
Tutto ciò salvo errori ed omissioni :-)
vincsemp
vincsemp - Ominide - 15 Punti
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Grazie mille, io anche sono riuscito a calcolare b=0,18(approssimato) il problema è che sono riuscito a calcolarlo procedendo a tentativi quindi volevo sapere se possibile un metodo con cui calcolarlo
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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No, si va per tentativi cercando prima due numeri che danno uno più è uno meno, es 5 e 6, poi si prova 5,1-5,2-5,3 ecc, poi 5,21-5,22-5,23 ecc
vincsemp
vincsemp - Ominide - 15 Punti
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Va bene ti ringrazio.... In giro ho letto e ho visto che molti usano il metodo di Newton per calcolare il numero approssimato

carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Su, è uguale. Usa il metodo che ti sembra più rapido. I disegni ti sono arrivati?
vincsemp
vincsemp - Ominide - 15 Punti
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uno solo... Comunque grazie
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dal momento che non si opera proprio "a tentativi", bensì si è soliti
seguire un ben preciso algoritmo, intervengo per mostrare i dettagli
della risoluzione della disequazione:

[math]\log(4x) + 2x \ge 0\\[/math]
.

1. Manipolando un attimino, si ottiene:

[math]\log(4x) \ge - 2x \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} y_1 := \log(4x) \\ y_2 := - 2x \\ y_1 \ge y_2 \end{cases} \; .\\[/math]

2. Graficando

[math]y_1[/math]
,
[math]y_2[/math]
e individuando ove
[math]y_1 \ge y_2\\[/math]
, si ha:

ossia la disequazione in esame è verificata per

[math]x \ge \alpha[/math]
e con l'ausilio
grafico si nota che
[math]0 < \alpha < \frac{1}{2}[/math]
. Volendo affinare ancora più la nostra
stima, ricordando che
[math]\log(1) = 0[/math]
allora
[math]\log\left(4\cdot\frac{1}{4}\right) = 0[/math]
e quindi
sicuramente
[math]0 < \alpha < \frac{1}{4}\\[/math]
.

3. Grazie al metodo di bisezione, si ha:

[math]x_0 = \frac{0 + \frac{1}{4}}{2} = 0.125\\[/math]
.

4. Data la funzione associata

[math]f: \left(0,\,\frac{1}{4}\right) \to \mathbb{R}[/math]
definita da
[math]f(x) := \log(4x) + 2x[/math]
, la cui derivata prima risulta essere
[math]\small f'(x) = \frac{1}{x} + 2\\[/math]
, grazie al metodo delle tangenti (o di Newton):
[math]x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \approx 0.169315\; ;\\[/math]

[math]x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx 0.175775\; ;\\[/math]

[math]x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \approx 0.175867\; .\\[/math]

5. Notando che l'errore commesso all'ultima iterazione è pari a

[math]|x_3 - x_2| \approx 0.000092 < 10^{-4}[/math]
decido di fermarmi, ossia
mi "accontento" di tale approssimazione (altrimenti itero finché
desidero). In definitiva, la disequazione in esame è verificata per
[math]x \ge\sim 0.176[/math]
. :)
vincsemp
vincsemp - Ominide - 15 Punti
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Grazie infinite...
Ultima domanda, il famoso x0 solitamente (non in questo caso) puo assumere entrambi i valori del intervallo? Per esempio poteva assumere anche il valore 0 (ipotizzando che non c'era il logaritmo) invece di 1/4?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ottimizzare la scelta di

[math]x_0[/math]
significa "impegnarsi" nel trovare un punto di in-
nesco per il metodo di Newton che sia più vicino possibile alla radice cercata.

Alcune correnti di pensiero in tale scelta privilegiano gli estremi

[math]a,\,b[/math]
del-
l'intervallo in cui è stata individuata la radice
[math]\alpha[/math]
e in tal caso sceglieranno
[math]x_0 = a \; \Leftrightarrow \; f(a)\cdot f''(a) > 0[/math]
o
[math]x_0 = b \; \Leftrightarrow \; f(a)\cdot f''(a) < 0\\[/math]
.
Altri (me compreso), dato che comunque il metodo di Newton risulta altamente
veloce nel convergere, molto a cuor leggero scelgono
[math]x_0 = \frac{a + b}{2}[/math]
, ossia si
pongono nel punto medio dell'intervallo individuato e buonanotte!! ;)
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