davide_galbiati
davide_galbiati - Erectus - 52 Punti
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Scusate non sapevo andasse scritta come domanda....
Ciao ragazzi, chi mi aiuta a risolvere questi esercizi?

Si consideri la funzione reale di variabile definita da
[math]f(x)=ln(-4x-x^2)[/math]

a) determinare l'insieme di definizione di f. Determinare il segno e le intersezioni con gli assi. Studiare il comportamento della funzione agli estremi del dominiodi f. Individuare gli eventuali asintoti di f. Scrivere la derivata f' e studiare i punti stazionari. Scrivere la derivata f" ed individuare gli eventuali punti di flesso. Tracciare il graficodella funzione f.
b) scrivere lo sviluppo di taylor di f centrato in xo=-2, arrestato al termine quadratico e secondo il resto di Peano
c)tracciare il grafico di g(x)=|f(-x)|

Stessa cosa anche con queste
[math]f(x)=ln(+4x+x^2)[/math]
[math]f(x)=ln(-4x+x^2)[/math]
[math]f(x)=ln(+4x-x^2)[/math]

Stabilire quante soluzioni reali ammette l'equazione
[math]4x^6-6x^4+1[/math]
Stabilire quante soluzioni reali ammette l'equazione
[math]4x^6-6x^4+1[/math]
Stabilire quante soluzioni reali ammette l'equazione
[math]4x^6-6x^4+1[/math]
Stabilire quante soluzioni reali ammette l'equazione
[math]4x^6-6x^4+1[/math]

Io non ci capisco una mazza, per quello vi chiedo anche quelle coi segni diverse..
E' davvero importante....grazie mille
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
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Insieme di definizione: la funzione logaritmo ammette argomento > 0

Quindi

[math] -4x-x^2>0 \to x^2+4x<0 \to x(x+4)<0 \to -4<x<0 [/math]

E quindi

[math] D: (-4,0) [/math]

Segno:

[math] \log (-4x-x^2)>0 \to \log(-4x-x^2)> \log 1 \to -4x-x^2>1 [/math]

E quindi

[math] x^2+4x+1<0 \to -2- \sqrt3 < x < -2+ \sqrt3 [/math]

I valori di estremo sono entrambi compresi nel dominio (sono circa -3,73 e -0,26).

Intersezione con gli assi:

ASSE Y (x=0) non ammesso per il dominio (che esclude lo 0)

Asse x (y=0)
[math] \log (-4x-x^2)= \log 1 \to x=-2 \pm \sqrt 3 [/math]

Aggiunto 12 minuti più tardi:

Nel dominio la funzione e' continua

Comportamento agli estremi.

[math] \lim_{x \to 0^-} \log (-4x-x^2)= [/math]

La funzione per x che tende a zero tende a logaritmo di 0 che e' (se guardi la funzione logaritmo naturale) - infinito

Analogamente per x che tende a -4.

Abbiamo quindi due asintoti verticali (x=0 e x=-4)

Derivata prima: abbiamo una funzione di funzione (logaritmo e polinomio)

la derivata sara' dunque la derivata del logaritmo per la derivata del polinomio

[math] f'(x)= \frac{1}{-4x-x^2} \cdot (-4-2x) = \frac{-4-2x}{-4x-x^2}= \frac{2x+4}{x(x+4)}[/math]

Da qui calcoliamo l'andamento della curva:

[math] f'(x)>0 [/math]

N>0:
[math]2x+4>0 \to x>-2 [/math]

D>0:
[math] x(x+4)>0 \to x<-4 \ U x>0 [/math]

E quindi (studiando il grafico dei segni, e ricordando il dominio)

[math] f'(x)>0 \to -4<x<-2 [/math]

La funzione quindi cresce nell'intervallo
[math] (-4,2) [/math]
decresce in
[math](-2,0) [/math]
e ha un punto di massimo ASSOLUTO per x=-2.
La funzione in x=-2 varra'
[math] f(2)= \log (8-4)= \log 4 [/math]

il punto di massimo sara' dunque
[math]M(-2, \log 4) [/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Derivata seconda:

E' una frazione, pertanto useremo la formula di derivazione

[math] f(x) = \frac{ g(x)}{h (x)} [/math]

[math] f'(x) = \frac{g'(x)h(x)-h'(x)g(x)}{h^2(x)} [/math]

E quindi

[math] f''(x)= \frac{2(x(x+4))-(2x+4)(2x+4)}{x^2(x+4)^2}[/math]

da cui eseguendo i calcoli

[math] f''(x)= \frac{ -2(x^2+4x+8 )}{x^2(x+4)^2} [/math]

Il numeratore e' sempre negativo (abbiamo -2 che moltiplica una quantita' sempre positiva (il delta di
[math] x^2+4x+8 [/math]
e' negativo)
Al denominatore abbiamo un prodotto di quadrati, sempre positivo

La derivata seconda, pertanto e' sempre negativa e la funzione ha dunque sempre concavita' verso il basso.

Non esistono punti di flesso.
La funzione non posso allegarla, ma vedrai che e' semplice tracciarla..

Ora prova a fare le successive.

Se hai dubbi o vuoi un controllo, posta le soluzioni che le controlliamo.
davide_galbiati
davide_galbiati - Erectus - 52 Punti
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Mi sembra tutto chiarissimo e 6 stato gentilissimo, l'unica cosa che non mi spiego è quando calcoli il segno, come arrivi poi a trovare
[math]-2-sqrt3<x<-2+sqrt3[/math]
??
Infine volevo chiederti se riesci a postarmi la parte di Taylor ed il calcolo delle soluzioni reali delle equazioni che ho postato.
Scusa e grazie ancora
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
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Una volta risolta l'equazione associata:

[math] x^2+4x+1=0 [/math]

Con la ridotta:

[math] x_{1,2}= -2 \pm \sqrt{4-1} [/math]

Prendi i valori interni (la disequazione e' minore di zero).

Quindi x compreso tra i due valori.

Per il resto, devi avere un po' di pazienza, perche' sono cose che ricordo poco..
Devo riguardarmele prima
davide_galbiati
davide_galbiati - Erectus - 52 Punti
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Chiarissimo....cavolo 6 veramente bravo a spiegare lo sai?
Comunque fai pure con calma ci mancherebbe...non volevo metterti fretta
Perdonami
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
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Il Teorema di Taylor con resto di Peano enuncia (in termini sintetici) che se la funzione e' derivabile 2 volte, in un intorno di x0 (e nel nostro caso dal momento che x=-2 appartiene al dominio e non rappresenta un punto di frontiera (ad esempio l'intorno di zero non e' derivabile dal momento che per x=0+ la funzione non esiste) vale:

[math] \lim_{x \to x_0} \frac{ f(x)-P_2(x)}{(x-x_0)^2}=0 [/math]

Il polinomio di Taylor di ordine 2 (ovvero quel
[math] P_2(x) [/math]
) e':
[math] \frac{ f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)(x-x_0)^2}{2} [/math]

Pertanto sapendo che
[math] f(-2)= \log (8-4)= \log 4 [/math]

[math] f'(-2)= \frac{2(-2)+4)}{-2(-2+4)}= \frac{0}{8} [/math]

e che

[math] f''(-2)= \frac{-2( (-2)^2+4(-2)+8 )}{(-2)^2(-2+4)^2}= \frac{-16}{16}=-1 [/math]

(e che, ovviamente,
[math] x-x_0=x+2 [/math]
)
Avremo

[math] P_2(x)= \frac{ \log 4 - (x+2)^2}{2} = \frac{ \log 4 - x^2 - 4x - 4}{2} = - \frac12 x^2 -2x-2 + \frac{ \log 4}{2} [/math]

Che esprime una parabola.

Aggiunto 55 minuti più tardi:

Per quanto riguarda il numero delle soluzioni, vediamo: (ce ne sono 4 ma sono tutte identiche... :con )

[math] 4x^6-6x^4+1 [/math]

Il polinomio non e' scomponibile.

Valutiamo la funzione
[math] f(x)=4x^6-6x^4+1[/math]

Calcoliamo prima di tutto il dominio della funzione, che essendo una polinomiale, non ha limitazioni di esistenza;

Poi calcoliamo i limiti a - infinito e a + infinito

[math] \lim_{x \to + \infty} 4x^6-6x^4+1 = \lim_{x \to + \infty} x^6 \(4- \frac{6}{x^2}+ \frac{1}{x^6} \) [/math]

Per x che tende a infinito i valori con x al denominatore tenderanno a zero.

Avremo dunque

[math] \lim_{x \to + \infty} 4x^6=+ \infty [/math]

E analogamente
[math] \lim_{x \to - \infty} f(x)= + \infty [/math]

Dunque abbiamo una funzione che "inizia" positiva e "finisce" positiva.

Tale situazione portera' ad avere un numero di intersezioni con l'asse x pari (se la funzione rimane sempre positiva, non avremo soluzioni, se la funzione diventa negativa, avremo o 2 o 4 o 6 soluzioni reali (il polinomio e' di 6to grado, quindi non avremo piu' di 6 soluzioni)

Vediamo l'andamento della funzione, studiandone la derivata prima:

[math] f'(x)= 24x^5-24x^3= 24x^3 (x^2-1) [/math]

Studiamo quindi la crescenza:

[math] f'(x)>0 [/math]

Abbiamo un prodotto:

Primo fattore:
[math] x^3>0 \to x>0 [/math]

Secondo fattore:
[math] x^2-1>0 \to (x+1)(x-1)>0 \to x<-1 \ U \ x>1 [/math]

Studiando il grafico avremo dunque che la funzione:

decresce in
[math] (- \infty, -1) \ U \ (0,1) [/math]

cresce in
[math] (-1,0) \ U \ (1, + \infty) [/math]

Abbiamo quindi punti di minimo per x=-1 e x=1, di massimo in x=0

Vediamo i valori della funzione per tali punti:

[math] f(-1)= 4-6+1=-1 [/math]

[math] f(0)= 1 [/math]

[math] f(1)= -1 [/math]

Pertanto nei vari "passaggi" la funzione intersechera' l'asse x sia prima di -1 (volgarmente... "va sotto l'asse x", ovvero diventa negativa) poi prima di zero torna positiva (e li' di nuovo un'intersezione con l'asse x) poi prima di 1 torna negativa (altra intersezione) e poi dopo 1 torna positiva (va a + infinito).

Quindi le soluzioni dell'equazione saranno 4, reali.

Se conosci la definizione di funzione pari, avresti potuto studiare la funzione solo da 0 a + infinito (o da - infinito a zero) trovando con analogo ragionamento 2 soluzioni (e quindi considerando come soluzione finale 4 soluzioni dell'equazione).

Con questo criterio, infatti, possiamo anche concludere che le soluzioni dell'equazione sono 4, uguali a 2 a 2 in valore assoluto (ovvero 2 a 2 una l'opposto dell'altra)
davide_galbiati
davide_galbiati - Erectus - 52 Punti
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6 il migliore grazie mille davvero, 6 stato super chiaro e super preciso...grazie grazie davvero....
Se avessi bisogno altri chiarimenti sempre di matematica ti posso chiedere?
Grazie ancora comunque
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
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Ti ho mandato un MP, davide
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