miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Come da titolo, vorrei sapere il metodo per riconoscere una conica e ridurla a forma canonica. Purtroppo c ho capito ben poco dal libro e girando su internet non sono riuscito comunque a chiarirmi le idee. Ho visto che un metodo per riconoscere una conica è quello di studiare il segno del prodotto degli autovalori della matrice rappresentante la forma quadratica della conica in questione. Altri studiano il segno degli invarianti ortogonali. Per la riduzione a forma canonica le cose si complicano ancora di più!! L unico metodo che sono riuscito ad applicare, ma che mi sembra troppo complicato e laborioso, è quello di applicare una sorta di rototraslazione del sistema di riferimento, cambiando gli assi di riferimento prima attraverso una rotazione ottenuta tramite una matrice di rotazione costituita dagli autovettori della matrice rappresentante la forma quadratica della conica. In seguito tramite il completamento del quadrato della nuova equazione della conica ottenuta, si effettua una traslazione che in conclusione da l equazione canonica della conica. Il metodo funziona, ma mi sembra decisamente troppo laborioso e perciò credo sia sbagliato usarlo. Insomma ho un bel po di confusione. Qualcuno potrebbe darmi una mano?? Grazi a tutti in anticipo.

Aggiunto 1 ore 31 minuti più tardi:

Certo posso aspettare ;). Magari se invece di domenica riesci a fare domani te ne sarei molto grato, ma senò va bene lo stesso.

Aggiunto 20 ore 17 minuti più tardi:

Ah ok allora va bene così. Il fatto è che per alcuni esercizi mi sembrava davvero difficile applicare tutto quel procedimento per trovare la forma canonica. Ad esempio prendendo un esercizio tipo questo:

x2+3xy-y2+x+y-1=0.

Non riesco proprio a trovarmi soprattutto perchè arrivo ad un certo punto a numeri strani e zeppi di radicali, che credo siano sbagliati. Inoltre volevo farti qualche altra domanda riguardo l argomento delle coniche. Potresti dirmi quali sono le condizioni da studiare per trovare eventuali fuochi ed assi di una conica?? Ad esempio per trovare il centro di una conica sò che bisogna risolvere il sistema Ax+h=0 dove A è la matrice rappresenatate la forma quadratica della conica, ed h è il vettore dei coefficienti dei termini in x ed y della conica ( nel caso dell esempio il vettore h=(1/2,1/2)). Allo stesso modo come faccio a trovare fuochi ed assi??

Aggiunto 2 ore 39 minuti più tardi:

Ok va benissimo, grazie mille. Se hai tempo dai anche un occhiata a quest altro metodo che ho trovato per ridurre una conica:

http://it.wikipedia.org/wiki/Rappresentazione_matriciale_delle_coniche

Sembrerebbe molto più semplificativo, ma l ho provato e non sono sicuro che funzioni.

Aggiunto 15 minuti più tardi:

okok grazie mille!!!

Aggiunto 21 ore 58 minuti più tardi:

Non ho parole....grazie mille!!! Davvero ottimo ed esaustivo. Solo una piccola cosa non mi è chiara. Confrontando ciò che mi hai spiegato con alcuni esercizi, c è qualcosa che non mi torno. Faccio un esempio. Data la conica:

[math] x^2+3y^2-4x+6y+1=0 [/math]

In questo caso se calcolo gli autovalori della forma quadratica associato, mi escono entrambi positivi essendo la matrice della forma quadratica la seguente:
[math]\begin{bmatrix} 1&0\\0&3 \end{bmatrix}[/math]
i cui autovalori sono 1 e 3. La conica è tuttavia un ellisse, ma dallos chema che mi hai fatto tu, per essere un ellisse entrambe gli autovalori dovrebbero essere negativi. Dov è che sbaglio?? Io avevo anche letto che per essere un ellisse il prodotto degli autovalori deve essermaggiore di 0. In questo caso si avrebbe un ellisse sia se gli autovalori sono entrambe negativi sia se sono entrambe positivi. E' giusta tale conclusione??
Avrei anche un altra domanda: come faccio a trovare assi e asintoti di un iperbole??

Aggiunto 1 ore 36 minuti più tardi:

OK perfetto si trova tutto !!! Per la questione di asintoti assi dell iperbole potresti darmi una mano??

ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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Guarda, è un po' lungo e al momento non ho tempo per scrivertelo. Se aspetti fino a domenica, ti spiego.

Aggiunto 16 ore 42 minuti più tardi:

Allora, una nota a quello che hai scritto: a te il metodo sembrerà laborioso, ma è quello che si usa! Quindi, se ti è chiaro, evito di scriverti altro.

Aggiunto 4 ore 46 minuti più tardi:

Senti, facciamo così, io ti scrivo tutto, e poi ne discutiamo con calma.

Aggiunto 1 ore 53 minuti più tardi:

Io era proprio quello che volevo scriverti. Mi ci metto più tardi e cerco di finirtelo in serata, o al max domani. Poi ne parliamo.

Aggiunto 2 ore 31 minuti più tardi:

Allora, cominciamo: una conica è il luogo dei punti che soddisfano una equazione di secondo grado della forma

[math]a_{11} x_1^2+a_{22} x_2^2+2a_{12} x_1 x_2+2a_{01} x_1+2a_{02} x_2+a_{00}=0[/math]

Tale equazione può sempre essere posta nella seguente forma matriciale:
[math](1\ x_1\ x_2)\ \left(\begin{array}{ccc}
a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ & & \\ a_{01} & a_{11} & a_{12} \\ & & \\ a_{02} & a_{12} & a_{22}
\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{c} 1 \\ \\ x_1 \\ \\ x_2\end{array}\right)=0[/math]

(lo vedi subito facendo i prodotti tra matrici). Posto
[math]A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ & & \\ a_{01} & a_{11} & a_{12} \\ & & \\ a_{02} & a_{12} & a_{22}
\end{array}\right)[/math]

e
[math]X=\left(\begin{array}{c} 1 \\ \\ x_1 \\ \\ x_2\end{array}\right)[/math]

la precedente equazione diventa
[math]X^t A X=0[/math]

dove con
[math]t[/math]
indico la trasposta di una matrice. Osserva che, per come è stata definita, la matrice
[math]A[/math]
è simmetrica, i.e.
[math]A^t=A[/math]
.
Per studiare una conica e determinarne la forma canonica, allora, si può operare sulla matrice
[math]A[/math]
trasformandola opportunamente in modo da ottenere una delle 9 forme canoniche note. Di seguito enuncio il Teorema di Classificazione delle Coniche Euclidee (suppongo ti serva solo questo e che tu non ti interessi né di coniche affini né di coniche proiettive) e ti do la sua dimostrazione. Essa, sostanzialmente, consiste nel metodo stesso di riduzione a forma canonica e quindi ciò che ti serve per lavorare con tali ogetti.
Continua.....

Aggiunto 15 ore 53 minuti più tardi:

Continuiamo...
Per prima cosa, diamo alcune definizioni: detta

[math]A[/math]
la matrice dei coefficienti di una conica, chiamiamo
[math]A_0=\left(\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\ & \\ a_{12} & a_{22}
\end{array}\right)[/math]

il minore principale. Ovviamente si ha pure che
[math]A_0[/math]
è simmetrica (i.e.
[math]A_0^t=A_0[/math]
). Indichiamo poi con
[math]a=(a_{01}\ a_{02})[/math]

il vettore dei coefficienti di primo grado della conica e poniamo
[math]X_0=(x_1\ x_2)^t[/math]
il vettore delle incognite. Allora si ha
[math]X=\left(\begin{array}{c}1\\ \\ X_0\end{array}\right)[/math]
e
[math]A=\left(\begin{array}{cc}
a_{00} & a \\ & \\ a^t & A_0
\end{array}\right)[/math]

e l'equazione della conica diventa
[math](1\ X_0^t)\ \left(\begin{array}{cc}
a_{00} & a \\ & \\ a^t & A_0
\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{c}1\\ \\ X_0\end{array}\right)=0[/math]
.
Enuncio ora (senza dimostrarli) alcuni teoremi relativi agli autovalori delle matrici simmetriche e alla loro diagonalizzazione: essi risultano fondamentali per ridurre a forma canonica le coniche euclide.

Teorema 1 Una matrice simmetrica ammette solo autovalori reali

Indicato con

[math]\mathcal{M}_n[/math]
l'insieme di tutte le matrici quadrate di ordine
[math]n[/math]
e con
[math]O_n=\left\{ M\in\mathcal{M}\ :\ M^{-1}=M^t\right\}[/math]

l'insieme delle matrici ortogonali (quelle la cui inversa coincide con la trasposta) abbiamo il seguente

Teorema 2 (Teorema spettrale): Per ogni matrice simmetrica

[math]A[/math]
esiste una matrice ortogonale
[math]M[/math]
tale che la matrice coniugata
[math]\tilde{A}=M^{-1} A M=M^t A M[/math]

risulta diagonale (e i valori sulla diagonale coincidono con gli autovalori della matrice
[math]A[/math]
.
Continua...

Aggiunto 2 ore 6 minuti più tardi:

A questo punto possiamo enunciare il

Teorema di classificazione delle coniche Euclidee
Ogni conica

[math]\mathcal{C}\in\mathbb{E}^2[/math]
è equivalente ad una delle seguenti
[math]\mathcal{C}_1[/math]
ellisse
[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad (a\geq b>0)[/math]
;
[math]\mathcal{C}_2[/math]
ellisse a punti non reali
[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1,\qquad (a\geq b>0)[/math]
;
[math]\mathcal{C}_3[/math]
ellisse degenere
[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0,\qquad (a\geq b>0)[/math]
;
[math]\mathcal{C}_4[/math]
iperbole
[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad (a>0,\ b>0)[/math]
;
[math]\mathcal{C}_5[/math]
iperbole degenre
[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0,\qquad (a>0,\ b>0)[/math]
;
[math]\mathcal{C}_6[/math]
parabola
[math]y-2px=0,\qquad (p>0)[/math]
;
[math]\mathcal{C}_7[/math]
parabola degenere reale (coppia di rette parallele)
[math]y^2-a^2=0,\qquad (a>0)[/math]
;
[math]\mathcal{C}_8[/math]
parabola degenere immaginaria
[math]y^2+a^2=0,\qquad (a>0)[/math]
;
[math]\mathcal{C}_9[/math]
conica doppiamente degenere (coppia di rette coincidenti)
[math]y^2=0[/math]
.
DIMOSTRAZIONE: La dimostrazione del teorema illustra anche il metodo in cui si procede per ridurre una conica a forma canonica. Indichiamo l'equazione della conica come
[math]\mathcal{C}:\qquad a_{11} x^2+a_{22} y^2+2a_{12} xy+2a_{01} x+2a_{02} y+a_{00}=0[/math]

con matrice dei coefficienti e minore principale
[math]A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ & & \\ a_{01} & a_{11} & a_{12}\\ & & \\ a_{02} & a_{12} & a_{22}\end{array}\right)\qquad \qquad\qquad A_0=\left(\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12}\\ & \\ a_{12} & a_{22}\end{array}\right)[/math]
.
Passo 1: Eliminazione del termine
[math]xy[/math]
Consideriamo il minore
[math]A_0[/math]
: essendo una matrice simmetrica, i suoi autovalori
[math]\lambda_1,\ \lambda_2[/math]
sono reali ed esite una matrice
[math]M\in O_n[/math]
tale che la matrice coniugata risulti
[math]\tilde{A}_0=M^t A_0 M=\left(\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 0\\ & \\ 0 & \lambda_2\end{array}\right)[/math]
.
Detta allora
[math]R=\left(\begin{array}{cc}
1 & \mathbf{0}\\ & \\ \mathbf{0}^t & M^t\end{array}\right)[/math]

che risulta ortogonale (e quindi
[math]R^t R=I_3[/math]
la matrice identica di ordine 3), dove
[math]\mathbf{0}=(0\ 0)[/math]
è il vettore nullo, si ha il cambiamento di coordinate
[math]X'=RX[/math]
da cui
[math]0=X^t A X=(R^t R X)^t A (R^t R X)=(RX)^t R A R^t (RX)=(X')^t(RAR^t) X'[/math]

e la nuova matrice dei coefficienti
[math]\tilde{A}=R A R^t=\left(\begin{array}{cc}
1 & \mathbf{0}\\ & \\ \mathbf{0}^t & M^t\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{cc}
a_{00} & a\\ & \\ a^t & A_0\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{cc}
1 & \mathbf{0}\\ & \\ \mathbf{0}^t & M\end{array}\right)=\\
\left(\begin{array}{cc}
1 & \mathbf{0}\\ & \\ \mathbf{0}^t & M^t\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{cc}
a_{00} & aM\\ & \\ a^t & A_0 M\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
a_{00} & aM\\ & \\ M^t a^t & M^t A_0 M\end{array}\right)[/math]

e quindi
[math]\tilde{A}=\left(\begin{array}{cc}
a_{00} & aM\\ & \\ (aM)^t & \tilde{A}_0\end{array}\right)[/math]

per cui la conica assume la nuova forma
[math]\mathcal{C}':\qquad \qquad \lambda_1 x'^2+\lambda_2 y'^2+2a_{01}' x'+2a_{02} y'+a_{00}=0[/math]

Passo 2: Eliminazione del termine noto e di quelli di primo grado
A seconda del valore degli autovalori, si operano differenti traslazioni.

Caso 1:

[math]\lambda_1\lambda_2\neq 0[/math]
Operiamo la seguente traslazione
[math]T_1:\qquad \qquad \left(\begin{array}{c} x' \\ y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x'' \\ y''\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} -a_{01}'/\lambda_1 \\ -a_{02}'/\lambda_2\end{array}\right)[/math]

Sostituendo nell'equazione per
[math]\mathcal{C}'[/math]
si ottiene la nuova equazione
[math]\mathcal{C}'':\qquad\qquad \lambda_1 x''^2+\lambda_2 y''^2+c_{00}=0[/math]

dove
[math]c_{00}=a_{00}-\frac{a_{01}'^2}{\lambda_1}-\frac{a_{02}'^2}{\lambda_2}[/math]
.
Se allora
[math]c_{00}>0[/math]
, dividendo per
[math]-c_{00}[/math]
otteniamo
[math]\mathcal{C}'':\qquad\qquad \frac{x''^2}{-c_{00}/\lambda_1}+\frac{y''^2}{-c_{00}/\lambda_2}=1[/math]

e quindi ci ritroviamo le equazioni
[math]\mathcal{C}_1[/math]
se e solo se
[math]\lambda_1,\ \lambda_2 <0[/math]
[math]\mathcal{C}_2[/math]
se e solo se
[math]\lambda_1,\ \lambda_2 >0[/math]
[math]\mathcal{C}_4[/math]
se e solo se
[math]\lambda_1\lambda_2<0[/math]
.
(ovviamente se invece
[math]c_{00}<0[/math]
i casi in cui ottieni la prima e la seconda conica si scambiano.)
Se invece
[math]c_{00}=0[/math]
otteniamo le coniche
[math]\mathcal{C}_3[/math]
se e solo se
[math]\lambda_1\lambda_2>0[/math]
[math]\mathcal{C}_5[/math]
se e solo se
[math]\lambda_1\lambda_2<0[/math]
.

Caso 2:

[math]\lambda_1\lambda_2=0[/math]
In questo caso solo uno degli autovalori è nullo (nel caso lo fossero entrambi, avresti una retta e quindi ricadresti immediatamente nel caso della
[math]\mathcal{C}_9[/math]
). Supponendo che
[math]\lambda_1=0[/math]
possiamo operare la traslazione
[math]T_2:\qquad \qquad \left(\begin{array}{c} x' \\ y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x'' \\ y''\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ -a_{02}'/\lambda_2\end{array}\right)[/math]

che sostituita nell'equazione di
[math]\mathcal{C}'[/math]
conduce all'equazione
[math]\mathcal{C}'':\qquad \qquad \lambda_2 y''^2+2a_{01}' x''+d_{00}=0[/math]

dove
[math]
d_{00}=a_{00}-\frac{a_{02}^{'2}}{\lambda_2}[/math]
.
In tale situazione, se
[math]a_{01}'=0[/math]
allora dividendo per
[math]\lambda_2[/math]
si ha l'equazione
[math]y''+\frac{d_{00}}{\lambda_2}=0[/math]

e si hanno le coniche
[math]\mathcal{C}_7[/math]
se e solo se
[math]d_{00}/\lambda_2>0[/math]
[math]\mathcal{C}_8[/math]
se e solo se
[math]d_{00}/\lambda_2<0[/math]
[math]\mathcal{C}_9[/math]
se e solo se
[math]d_{00}=0[/math]
.
Se invece
[math]a_{01}'\neq 0[/math]
operando la traslazione
[math]T_3:\qquad \qquad \left(\begin{array}{c} x'' \\ y''\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x''' \\ y'''\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} -d_{00}/(2a_{01}') \\ 0 \end{array}\right)[/math]

si ottiene, sostituendo nell'equazione
[math]\mathcal{C}''[/math]
la nuova equazione
[math]\mathcal{C}''':\qquad\qquad \lambda_2 y'''^2+2a'_{01} x'''=0[/math]

che, ponendo
[math]a'_{01}/\lambda_2=-p[/math]
si riduce all'equazione
[math]\mathcal{C}_6[/math]
.
[math]\qed[/math]

Aggiunto 3 ore 41 minuti più tardi:

Io ho considerato il caso in cui

[math]c_{00}>0[/math]
. Credo che nel tuo caso
[math]c_{00}[/math]
sia negativo e quindi, per avre un'ellisse, dovrai avere gli autovalori entrambi positivi.
Aggiunto 15 minuti più tardi:

Per il prodotto degli autovalori, come vedi, in entrambi i casi in cui gli autovalori hanno segno uguale risulta esserci un'ellisse: quello che cambia è che, a seconda del segno di

[math]c_{00}[/math]
otterrai un'ellisse reale oppure una non reale.
Per gli asintoti e gli assi dell'iperbole, invece, osserva quanto segue: la trasformazione che porta all'equazione di tipo
[math]\mathcal{C}_4[/math]
è la seguente
[math]X''=X'+v_1=MX+v_1[/math]

dove i vettori
[math]X,\ X',\ X''[/math]
sono i vettori delle incognite,
[math]M[/math]
è la matrice di coniugio per il minore
[math]A_0[/math]
e
[math]v_1=(a'_{01}/\lambda_1\ a'_{02}/\lambda_2)[/math]
il vettore della traslazione (nota che ho cambiato di segno). Poiché nelle coordinate
[math]X''[/math]
si hanno le seguenti condizioni
Assi:
[math]x''=0,\ y''=0[/math]
Asintoti:
[math]y''=\pm\frac{b}{a}\ x''[/math]

per determinare quelli originali nelle coordinate
[math]X[/math]
basta procedere così:
Assi: risolvere il sistema
[math]\mathbf{0}=MX+v_1[/math]
che porta alle equazioni degli assi
[math]MX+v_1=\mathbf{0}\ \Rightarrow\ MX=-v_1\ \Rightarrow\ X=-M^{-1} v_1=-M^t v_1[/math]

Asintoti: risolvere il sistema
[math]\mathbf{s}=MX+v_1[/math]
dove
[math]\mathbf{s}=(x''\ \pm(b/a) x'')[/math]
che porta alle equazioni degli asintoti
[math]MX+v_1=\mathbf{s}\ \Rightarrow\ MX=\mathbf{s}-v_1\ \Rightarrow\ X=M^{-1}(\mathbf{s}-v_1)=M^t(\mathbf{s}-v_1)[/math]

Aggiunto 12 minuti più tardi:

Adesso non ho tempo. Domani cerco di scriverti le formule con maggior dettaglio.


Questa risposta è stata cambiata da The Mascheroni CAD Team (20-01-13 20:23, 5 anni 11 mesi )
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