miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Ho aperto poco fa un post dove chiedevo spiegazioni su come ridurre una conica in forma canonica. Ora vorrei sapere la stessa cosa, ma per le quadriche. Pensavo il procedimento fosse simile, ma dopo diversi tentativi mi sono accorto che non è così. Qualcuno potrebbe darmi una mano?? Ad esempio come faccio a ridurre questa quadrica:

[math]x^2+y^2-z^2+4xy+1=0[/math]

Grazie a tutti in anticipo.

Aggiunto 19 ore 27 minuti più tardi:

beh se è proprio così complicato fa niente, anche perkè non ho neanche mai sentito parlare di tersori ( almeno in geometri) quindi non credo sia necessario. Il fatto è che avevo letto in alcuni temi d esame esercizi in cui veniva richiesto di riconoscere e ridurre una quadrica. Ora per il riconoscimento uso questo schema:

http://progettomatematica.dm.unibo.it/Quadriche/teoria/denis6/classificazione.html

Per la riduzione, invece non sapevo come fare. Poi mi sono accorto dalle soluzioni, che tutte le volte, la quadrica viene ridotta o con il completamento dei quadrati, oppure sostituendo gli autovalori della matrice della forma quadratica, come coefficienti dei termini di secondo grado. Faccio un esempio. Data la quadrica:

[math]x^2+y^2+4z^2-2x=0[/math]

essa è un ellissoide reale. Posso ridurla o completando il quadrato di (x-1) oppure calcolando gli autovalori della forma quadratica e ponendoli come coefficienti dei termini di secondo grado ed aggiungendo il termine noto 1 a seconda che l ellissoide sia reale o immaginario ( in questo caso aggiungo -1). Tutto ciò è molto meccanico ovviamente, ma volevo sapere, è cmq un procedimento giusto in alcuni casi, magari non troppo complessi, per ridurre una quadrica??
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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Le quadriche sono più complesse, in quanto le "Matrici" dei coefficienti non sono a 2 entrate ma a 3... è come avere non una matrice quadrata ma una cubica! I metodi formali, come quelli che ti ho già spiegato in precedenza, non sono di immediata generalizzazione perché, per scrivere le forma matriciali, dovresti usare oggetti detti Tensori (che, in un certo senso, sono matrici a 3, 4, 5 ecc dimensioni... in effetti un tensore 2 dimensionale è una matrice vera e propria e un tensore 1-dimensionale è un vettore).

Se puoi aspettare, stasera ti spiego con più calma.

Aggiunto 53 minuti più tardi:

Non solo è giusto... formalmente è anche l'unico. :asd
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